Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Suites - PTSI + PTE

Q: Quelle est la condition pour une suite (st.) croissante ?
A: Pour tout n dans N, Un+1 >= Un (resp. >)

Q: Formule pour le calcul d'un terme d'une suite arithmétique de raison r.
A: Pour tout n_0 dans N (n>=n_0), U_n=Un_0+(n-n_0)*r

Q: Formule pour le calcul d'un terme d'une suite géométrique.
A: Pour tout n_0 dans N tel que n >= n_0,
U_n = U_1*r^n-n0

Q: Que peut-on déduire d'une suite arithmetico-géométrique U_n+1=aU_n+b quand a = 1 et a != 1 ?
A: .a=1: (U_n) est arithmétique de raison b
.a!=1: x=ax+b admet une unique solution que l'on note par exemple alpha. On a alors (U_n - alpha)_ndansN géométrique de raison a.
(cf cours ci-joint pour plus de détails)

Q: Démontrer la proposition du passage à la limite dans les inégalités larges des suites.
(Soit (l_1,l_2) dans |R^2 Soit ((U_n),(V_n)) des suites réelles indexées par |N tq pour tout n dans |N, U_n<=V_n
et U_n->l_1 ; V_n->l_2 Alors l_1<=l_2)
A: Le cours pdf ne démontre pas tout à fait la même chose mais c'est dans le même esprit et la proposition est plus puissante car s'utilise dans des cas plus variés.

Q: Démontrer l'unicité de la limite d'une suite:
(On se calque sur la démo des fonctions car elle est pas mal et existe en pdf. A ADAPTER POUR LES SUITES) Le démontrer également pour +inf
A: (On se calque sur la démo des fonctions car elle est pas mal et existe en pdf. A ADAPTER POUR LES SUITES) + CF COURS PAPIER POUR LA LIMITE EN +inf

Q: Démontrer la limite d'une somme de suites
A: cf cours

Q: Démontrer la limite d'un produit de suites
A: cf cours sinon y'a ce screen qui est quasi exactement pareil:

Q: Comment obtenir l'expresion d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 ? + definition
A: [latex]On dit qu'une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres réels $a$ et $b$, avec $b\neq 0$ tels que: $\forall n \in\mathbb{N}, u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$\\
On lui associe l'équation caractéristique $x^2 -ax -bx = 0$. Soit $\Delta$ le discriminant de cette équation:\\
-Si $\Delta > 0$, l'équation admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$.\\
Alors, $\exists ! (\mu,\lambda) \in\mathbb{R}^2, \forall n \in\mathbb{N}, u_n = \lambda x_1^n + \mu x_2^n$\\
-Si $\Delta = 0$, l'équation admet une racine double $x_0$.\\
Alors, $\exists ! (\mu,\lambda) \in\mathbb{R}^2, \forall n \in\mathbb{N}, u_n = (\lambda n + \mu) x_0^n$\\
-Si $\Delta < 0$, l'équation admet deux racines complexes conjuguées $\rho e^{i\theta}$ et $\rho e^{-i\theta}$.\\
Alors, $\exists ! (\mu,\lambda) \in\mathbb{R}^2, \forall n \in\mathbb{N}, u_n = \lambda cos(n\theta)\rho^n + \mu sin(n\theta)\rho^n$
[/latex]

Q: Donner la définition de deux suites adjacentes ainsi que le théorème des suites adjacentes.
A: [latex]On dit que $(U_n)$ et $(V_n)$ sont adjacentes si ces trois propriétés sont vérifiées: \\
- l'une est croissante\\
- l'autre est décroissante\\
- $\lim\limits_{n\to +\infty} U_n-V_n = 0$\\
\underline{Théorème des suites adjacentes:}\\
Si $(U_n)$ et $(V_n)$ sont deux suites adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.[/latex]

Q: Qu'est-ce qu'une suite extraite ? Donner le théorème associé.
A: On dit que (Vn) est extraite de (Un) si il existe f:|N->|N tq f st.croissante et pour tout n de |N, Vn = U_f(n)
Théorème des suites extraites:
Soit l dans |R
Supposons que (Un) tend vers l. Alors: toute suite extraite de (Un) converge vers l
En revanche, la réciproque n'est pas nécéssairement vraie. On pourra alors montrer que deux suites extraites ont une limite différente pour montrer que (Un) ne converge pas

Q: [latex]Donner la proposition de la monotonie de $(U_n)$ suite définie par une relation de récurrence.[/latex]
A: [latex]La fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(Un)$ permet de connaitre la monotonie de $(Un)$.[/latex]

[latex]Définir ce qu'est une fonction k-lipschitzienne, contractante et donner la proposition associée.[/latex]

Q: [latex]Traduire mathématiquement $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $l$[/latex]
A: [latex]$\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, n > n_0 \Rightarrow |u_n - l| < \epsilon$[/latex]

Q: [latex]Traduire mathématiquement: $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ admet pour limite $+\infty$[/latex]
A: [latex]$\forall A > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n > n_0, U_n > A$[/latex]

Q: [latex]Donner la formule pour la somme des termes d'une suite géométrique $(U_n)$.[/latex]
A: [latex]$S_n = U_0 \frac{1-q^{n+1}}{1 - q} $ où $q$ est la raison de la suite géométrique.[/latex]

Q: [latex]Soit $f$ croissante sur $I$, que peut-on dire de la suite $(u_n)$ définie comme $u_{n+1} = f(u_n)$.[/latex]
A: [latex]Si $f$ croissante sur $I$, alors $(u_n)$ monotone, avec $(u_n)$ croissante si $f(u_0) \geq u_0$ et $(u_n)$ décroissante si $f(u_0) \leq u_0$[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire si $f$ continue sur $I$ et $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $l \in I$[/latex]
A: [latex]Si $f$ continue et $(u_n)$ converge vers $l\in I$, donc, $f(l) = l$ (i.e. $l$ point fixe de $f$)[/latex]

Q: Enoncer le théorème de Césaro.
A: [latex]Soit $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite qui converge de $l$.\\
Alors la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$, définie par $v_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} u_k$ converge vers $l$.[/latex]

Q: Donner la méthode de recherche des intervalles stables pour les suites définies par récurrence.
Quel intérêt ça a de le savoir ?
A: [latex]Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite définie par récurrence comme $u_{n+1} = f(u_n)$.\\\\
Généralement, les intervalles stables sont délimités par des points fixes de $f$.\\\\
Par exemple,  pour $u_{n+1} = (3u_n + 1)^{\frac{1}{3}} - 1$, $f(x) = x$ pour $x = -3$ et $x = 0$.\\
Les intervalles stables sont $]-\infty, -3[, ]-3, 0[, ]0, +\infty[$, ce que l'on démontre en disant simplement que f est croissante sur $\mathbb{R}$ et donc sur chacun de ces intervalles indépendemment, ce qui implique la stabilité sur ces intervalles.\\
Il est intéressant de savoir les intervalles stables des suites définies par récurrence car on n'a des propriétés là dessus. Elles sont hors programme mais sont utiles et redémontrables en quelques lignes:\\
-Si $f$ croissante sur $I$ stable, alors $(u_n)$ monotone.\\\\
-si $f$ continue sur $I$ stable et $(u_n) \rightarrow l\in I$, $f(l) = l$ i.e. $l$ pt fixe de $f$
[/latex]

Q: [latex]Question longue: donner la méthode pour l'utilisation de l’inégalité des accroissements finis pour étudier la convergence de suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$.\\
On s'appuiera sur l'étude de la suite définie par: $u_0  \in [0, \frac{\pi}{2}]$ et $u_{n+1} = cos(u_n)$.\\
La propriété utile sera énoncé et \underline{démontrée}.
[/latex]
A: [latex]
Propriété utile à démontrer:
Soit $f$ une fonction contractante, de rapport de Lipschitz $k$ sur $[a,b]$, à valeurs dans $[a,b]$. Il existe un unique $x\in[a,b], f(c) = c$.\\
De plus, pour tout $\alpha \in [a,b], |c - f(\alpha )| \leq k|c - \alpha |$.\\
Si on définit la suite $(u_n)$ par $u_0 = \alpha$ et $u_{n+1} = f(u_n), | u_n - c| \leq k^n |u_0 - c| \leq k^n (b-a)$. La suite $(u_n)$ converge donc vers $c$.\\\\
\underline{Démonstration}:\\
$\forall n \in \mathbb{N}, |u_{n+1} - c| = |f(u_n) - f(c)| \leq k|u_n - c|$. \\
On en déduit par récurrence: $\forall n \in \mathbb{N}, |u_n - c| \leq k^n|u_0 - c| \leq k^n (b-a)$\\
(faire la récurrence ...)\\
On en déduit $\forall n \in \mathbb{N}, |u_n - c| \leq k^n |u_0 - c| \leq k^n (b-a)$.\\
Donc par encadrement: $u_n - c \mathop{\rightarrow}\limits_{n\to +\infty} 0$ et $(u_n)$ converge vers $c$.\\\\
\underline{Exemple}:\\
$u_0 \in [0,\frac{\pi}{2}]$ et $u_{n+1} = cos(u_n)$.\\
or: $[0,1]$ stable par $f$. Donc: $(u_n)$ bien définie et $\forall n, u_n \in [0,1]$.\\
Posons $g(x) = cos(x) - x$. Donc: $g(0)  = 1$ et $g(1) < 0$. Donc par TVI, $\exists x_0 \in ]0,1[, g(x_0) = 0$ et $f(x_0) = x_0$.\\
or, $f$ dérivable sur $[0,1]$ et $f'(x) = -sin(x)$. Donc, $|f'(x)| = sin(x)$ est maximale pour $x=1$.\\
Donc par inégalité des accroissements finis, $\forall x,x'  \in [0,1], |f(x) - f(x')| \leq sin(1) |x - x'|$.\\
$sin(1) \in [0,1[$, $f$ contractante et $x_0$ point fixe de $f$.\\
On en déduit que $\forall n \in \mathbb{N}, |u_{n+1} - x_0| \leq sin(1)|u_n - x_0|$.\\
D'où $|u_n - x_0| \leq sin(1)^n|u_0 - x_0| \leq sin^n(1)$.\\
D'où $(u_n)$ converge vers $x_0$.
[/latex]

Q: [latex]Quel est le réflexe à avoir pour montrer qu'une suite est constante ?[/latex]
A: [latex]On utilise $U_{n+1} - U_{n} = 0 \; \forall n \in \mathbb{N}$.[/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce qu'une bonne méthode pour montrer qu'une équation admet une solution sur un intervalle donné, sans qu'on ait besoin directement de connaître sa valeur ?[/latex]
A: [latex]En montrant que la fonction est strictement monotone sur un intervalle donné, on montre par théorème de la bijection monotone que la fonction réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$. Donc, si la solution fait partie de I, elle est atteinte une seule fois pour tout valeur de I.\\
Par exemple: $e^x = nx \iff e^x - nx = 0$. On introduit $f_n:x \mapsto e^x - nx$, on montre aisément par dérivation que $f_n$ continue, strictement croissante sur $]ln(n), +\infty [$. Donc elle réalise une bijection de cet intervalle dans $[n - nln(n), +\infty[$. O est contenu dans cet intervalle, donc 0 est atteint une fois pour $x \in ]ln(n), +\infty[$. On montre de même que 0 est atteint une fois pour $x \in ]-\infty,ln(n)[$.
Donc, $0$ est atteint deux fois par la fonction, l'équation admet deux solutions réelles.
[/latex]

Q: [latex]Donner sous forme de points la méthode pour étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Tracer la variation de $f$.
\item Chercher les intervalles stables: chercher les points fixes, qui délimitent généralement ces intervalles.
\item Utiliser la monotonie de $f$ sur ces intervalles pour dire que $f$ est stables sur ceux-ci.
\item Les variations de $(U_n)$ sont déterminées par le signe de $f(x) - x$.
\item Conclure sur les limites de $(U_n)$ selon $u_0$ à partir de la proposition sur les points fixes et la monotonie de $(U_n)$ sur chacun des intervalles stables.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Quel cas ne nous arrange pas lors de l'étude d'une suite définie par récurrence, mais qui a tendance à être facilement résolu ?[/latex]
A: [latex]
Lorsque $f$ n'est pas croissante sur tout l'ensemble de définition, il y a de bonnes chances pour que si $u_0$ n'est pas dans l'intervalle stable par $f$, $u_1$ y soit (ou bien apcr), et une fois qu'on y est on y est piégé, alors on ser ramène au cas où $u_0$ fait partie de cet ensemble.
[/latex]

Q: [latex]
Donner la propriété sur les fonctions contractante.
[/latex]
A: [latex]
On peut donner la propriété sous forme de trois points:
\underline{Contexte}:
\begin{enumerate}
\item $f$ fonction contractante de rapport $k$
\item sur $[a,b]$, à valeurs dans $[a,b]$.
\end{enumerate}
\underline{Propritété}:
\begin{enumerate}
\item $\exists ! c \in [a,b], f(c) = c$
\item $\forall \alpha \in [a,b], |c - f(\alpha)| \leq |c - \alpha|$
\item Si on défini $(u_n)$ par $u_0 = \alpha$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, alors $|u_n - c| \leq k^n|u_0 - c| \leq k^n (b-a)$, d'où $u_n \to c$
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Comment démontre-t-on la propriété sur les fonctions contractantes ?[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Démontrer $f(c) = c$ en une ligne par théorème du point fixe.
\item Démontrer $|f(c) - f(\alpha)| \leq k|c - \alpha|$ par théorème des accroissements finis
\item Démontrer l'inégalité et donc $u_n \to c$ par récurrence.
\end{enumerate}
[/latex]