Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Espaces préhilbertiens réels

Q: [latex]Définir ce qu'est un espace préhilbertien[/latex]
A: [latex]On appelle espace préhilbertien tout $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire.[/latex]

Q: [latex]Définir ce qu'est un produit scalaire.[/latex]
A: [latex]Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique $(|)$ définie positive, ce qui signifie:
\begin{itemize}
\item À valeur dans $\mathbb{R}$.
\item \underline{bilinéaire}: linéaire à gauche: $\forall u,v,w \in E, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, (\lambda u + \mu v |  w) = \lambda(u|w) + \mu(v|w)$
linéaire à droite: $\forall u,v,w \in E, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, (u|\mu v + \lambda w) = \lambda(u|v) + \mu (v|w)$
\item \underline{symétrique}: $\forall u,v \in E, (u|v) = (v|u)$
\item \underline{positive}: $\forall u \in E, (u|u) \geq 0$
\item \underline{défini}: $\forall u \in E, (u|u) = 0 \Rightarrow u = 0_E$
\end{itemize}[/latex]

Q: [latex]Enoncer la proposition qui lie symétrie et linéarité dans le cadre du produit scalaire en mathématiques.[/latex]
A: [latex]Si une forme sur $E$ est linéaire à gauche et symétrique, alors elle est linéaire à droite.\\
Si une forme sur $E$ est linéaire à droite et symétrique, alors elle est linéaire à gauche.[/latex]

Q: [latex]Enoncer l'inégalité de Cauchy-Schwartz.[/latex]
A: [latex]Soit $E$ un $\mathbb{R}$ espace vectoriel muni d'un produit scalaire $(|)$. Alors:\\
$\forall x \in E, \forall y \in E, |(x|y)| \leq \sqrt{(x|x)}.\sqrt{(y|y)}$ avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.\\\\
On a aussi: $\forall x \in E, \forall y \in E, (x|y) \leq \sqrt{(x|x)}.\sqrt{(y|y)}$ avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires \underline{de même sens}.[/latex]

Q: [latex]Compléter:[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item $x = 0_E$
\item $||\lambda x || = |\lambda |||x||$
\item $||x + y|| \leq ||x|| + ||y||$
\item $||x||^2 + 2(x|y) + ||y||^2$
\item $||x||^2 - 2(x|y) + ||y||^2$
\item $2(||x||^2 + ||y||^2)$
\item $\frac{||x + y||^2 - ||x||^2 - ||y||^2}{2} = \frac{||x||^2 + ||y||^2 - ||x - y||^2}{2} = \frac{||x + y||^2 - ||x - y||^2}{4}$
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de norme euclidienne.[/latex]
A: [latex]Soit $E$ un espace préhilbertien réel. On appelle norme euclidienne sur $E$ l'application $x\mapsto \sqrt{(x|x)}$. On note la norme de $x$ : $||x||$.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de distance associée à la norme euclidienne.[/latex]
A: [latex]La distance associée à la norme euclidienne, appelée distance euclidienne, est l'application:\\
$d: E \times E \to \mathbb{R}^+, (x,y) \mapsto ||x-y||$.[/latex]

Q: [latex]Compléter:[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item $x = y$
\item $d(y,x)$
\item $d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'orthogonalité en mathématiques dans le cadre des espaces préhilbertiens.[/latex]
A: [latex]Soient $x, y \in E$. On dit que $x$ est orthogonal à $y$ (on note encore $x\bot y$) lorsque: $(x|y) = 0$.\\
Le produit scalaire étant symétrique, on dit aussi que x et y sont orthogonaux.[/latex]

Q: [latex]Définir ce que sont deux sous-espaces orthogonaux.[/latex]
A: [latex]Soit $E$ un espace préhilbertien réel. Soient $F$ et $G$ deux sous espaces vectoriels de $E$. On dit que $F$ et $G$ sont orthogonaux si: \\
$\forall x \in F, \forall y \in G, (x|y) = 0$.\\
(i.e. tout vecteur de l'un est orthogonal à tout vecteur de l'autre)[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'orthogonal d'un sous-espace vectoriel.[/latex]
A: [latex]Soit $E$ un espace préhilbertien réel. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. On appelle orthogonal de $F$ et on note $F^\perp$, l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $F$. Ainsi: $F^\perp = \{ y \in E, \forall x \in F, (x|y) = 0 \}$[/latex]

[latex]Enoncer le théorème de Pythagore en dimension $n$.[/latex]

Q: [latex]Définir ce qu'est un espace vectoriel euclidien.[/latex]
A: [latex]Un espace vectoriel euclidien est un $\mathbb{R}$ espace vectoriel:
\begin{enumerate}
\item de dimension finie
\item muni d'un produit scalaire.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Donner la méthode du procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt.[/latex]
A: [latex]Pour déterminer une base orthonormé d'un espace vectoriel euclidien $E$ de dimension 3:
\begin{enumerate}
\item On part d'une base $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$ connue.
\begin{enumerate}
   \item On pose $v_1 = \frac{e_1}{||e_1||}$, puis $e_2' = e_2 + \lambda v_1$
   \item On cherche $\lambda$ tel que $(v_1|e_2') = 0$.
\end{enumerate}
\item On pose $v_2 = \frac{e_2'}{||e_2'||}$, puis $e_3' = e_3 + \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2$.
\item On détermine $\lambda_1$ et $\lambda_2$ pour que $(e_3' | v_1) = 0$ et $(e_3'|v_2) = 0$.
\item Enfin, on pose $v_3 = \frac{e_3'}{||e_3'||}$.
\item On termine par: "$(v_1, v_2, v_3)$ est une base orthonormée construite par le procédé de Gram-Schmidt à partir de la base $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$".
\end{enumerate}
[/latex]

Q: Répondre dans le cadre des espaces préhilbertiens.
A: [latex]Note: $(E; (|))$ est un espace vectoriel préhilbertien et $\mathcal{B}$ est une base orthonormée de $E$.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de projection orthogonale sur $F$ dans le cadre des espaces préhilbertiens.[/latex]
A: [latex]Soit $(E, (|))$ un espace vectoriel préhilbertien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie.\\
On appelle projection orthogonale sur $F$ la projection sur $F$ parallèlement à $F^{\perp}$.[/latex]

Q: [latex]Quelle formule a-t-on pour la projection orthogonale dans le cadre des espaces préhilbertiens ?[/latex]
A: [latex]Soit $(E, (|))$ un espace vectoriel préhilbertien et $F = Vect(e_1, ..., e_k)$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie tel que $(e_1, ..., e_k)$ est une famille orthonormée. Soit $p$ la projection orthogonale sur $F$, alors: \\
$\forall x \in E, p(x) = \sum\limits_{i = 1}^k (x|e_i).e_i$[/latex]

[latex]Quelle relation a-t-on entre la norme euclidienne et la projection dans le cadre des espaces préhilbertiens ?[/latex]

[latex]Enoncer l'inégalité de Bessel.[/latex]

Q: [latex]Enoncer les deux méthodes de calcul d'un projeté orthogonal.[/latex]
A: [latex]Il existe deux méthode possibles:\\
\begin{enumerate}
\item \underline{Méthode 1}:
Si on connaît une base \underline{orthonormée} $(e_1,...,e_k)$ (ou bien, que ça veut le coup d'en déterminer une par orthogonalisation de Gram-Schmidt), on peut appliquer directement la formule: $p(x) = \sum\limits_{i=1}^k (x|e_i)e_i$
\item \underline{Méthode 2}:
Si on connaît seulement une base de $F$, $(b_1,...,b_k)$, on cherche le projeté orthogonal sous la forme $p(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i b_i$.\\
Un tel vecteur $p$ est le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ si et seulement si $x - p(x) \in F^\perp$.\\
En gros, on cherche $p(x)$ tel que $\forall i \in [|1, k|], (x - p(x)|b_i) = 0$ ou encore $\forall i \in [|1, k|], (p(x)|b_i) = (x|b_i)$\\\\
Comme souvent, un exemple vaut mieux qu'un long discours, alors on retiendra l'exemple suivant:\\
Projeté de $X^2$ sur $\mathbb{R}[X]$ de base orthonormée $(1,X)$. $p(X^2)$ est de la forme $p(X^2) = aX + b$ et $(p(X) - aX - b|1) = 0$ et $(p(X) - aX - b|X) = 0$.
\end{enumerate}[/latex]

[latex]Donner le produit scalaire canonique dans $\mathbb{R}^n$[/latex]

Q: [latex]Donner la formule qui permet, à partir d'une projection sur un espace vectoriel, d'obtenir la symétrie par rapport à cet espace.
\textbf{+ LE TRADUIRE EN TERME MATRICIEL}[/latex]
A: [latex]Soit $P$ la matrice représentatrice de $p$. Donc, soit $S$ la la matrice représentatrice de $s$, on obtient:
$S = 2P - I_n$[/latex]

Q: [latex]Quel est le réflexe  à avoir immédiatement quand on veut déterminer un projeté orthogonal (ou bien la matrice d'un projeté orthogonal) ?[/latex]
A: [latex]Gram-Schmidt pour orthogonaliser la base puis appliquer la formule du projeté orthgonal.[/latex]

Q: [latex]A quoi faut-il faire attention dans la définition d'une forme bilinéaire symétrique ?[/latex]
A: [latex]
On a introduit la notion de forme bilinéaire symétrique en introduisant la notion de produit scalaire.
Le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique \underline{positives}, mais toute les formes bilinéaires symétriques ne sont pas forcément positives.
Ainsi, la condition $\varphi(x,x) \geq 0$ n'est à vérifier que si l'on veut montrer que la forme est bilinéaire symétrique \textbf{positive}.
[/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce qu'une erreur récurrente lorsque l'on calcule un projeté ?[/latex]
A: [latex]
Lorsqu'on utilise la formule du projeté $p(x) = \sum (x|e_i)e_i$, il faut TOUJOURS AVOIR UNE BASE ORTHONORMALE.
On utilise alors ou bien Gram-Schmidt ou bien une autre méthode si ce n'est pas facile de faire Gram-Schmidt.
[/latex]

Q: [latex]Rappeler la formule de la transposée du produit de deux matrices.[/latex]
A: [latex]
$^t(AB) = ^tB^tA$
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il faire doublement attention quand on veut appliquer la formule du projeté orthogonale ?[/latex]
A: [latex]
La base ne doit pas seulement être orthogonale mais orthonormale !! Le nom est trompeur attention faux-ami !
[/latex]

Q: [latex]Comment répondre si on me demande de donner le supplémentaire orthogonal de $F$ dans $E$ ?[/latex]
A: [latex]
$F^\perp$ est l'unique supplémentaire de $F$ orthogonal à $F$. On l'appelle supplémentaire orthogonale.
$F^\perp$ est caractérisé par le fait que $F^\perp = \{ y \in E, \forall x \in F, (x|y) = 0\}$
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire de la trace d'une application linéaire ?[/latex]
A: [latex]
Le trace d'une application linéaire ne dépend pas de la base dans laquelle on représente sa matrice.
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il faire attention sur la formule de changement de base pour un endomorphisme ?[/latex]
A: [latex]
On a tendance à appliquer la formule de changement de base en mettant $^T$ au lieu de $^-1$, mais attention, ceci n'est valable que pour une isométrie !!
Il faut donc, ou bien appliquer $^-1$, ou bien bien faire attention que l'on s'est mis dans une base orthonormée pour représenter $f$ !!
[/latex]

Q: [latex]Tout sur les sous-espaces orthogonaux:
Définition, supplémentaires, somme directe...
[/latex]
A: [latex]
\underline{Définition}: Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On dit que $F$ et $G$ \textbf{sont orthogonaux} si pour tout $x \in F$ et pour tout $y \in G, (x|y) = 0$.
\underline{Définition}: Soit $F$ sous-espace vectoriel de $E$. On appelle \textbf{orthogonal} de $F$ et on note $F^\perp$, l'ensemble des vecteurs $y$ de $E$, orthogonaux à tous les vecteurs de $F$.
\underline{Propriété}: $F^\perp$ est le seul supplémentaire de $F$ orthogonal à $F$.
\underline{Propriété}: $F \cap F^\perp = \{0_E\}$, ils sont en somme directe.
[/latex]

Q: [latex]En quoi le fait d'avoir une somme directe peut nous permettre de conclure sur la diagonalisabilité d'un endomorphisme ?[/latex]
A: [latex]
Soit $\varphi$ endomorphisme de $E$ un espace vectoriel.
Si on arrive à démontrer que $E = A \oplus B$, \textbf{et si $A$ et $B$ sont des \underline{sous-espaces \textit{propres}}} de $\varphi$, alors $\varphi$ diagonalisable.
[/latex]