Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Fonctions vectorielles d'une variable réelle

Q: [latex]Enoncer la $2^{eme}$ inégalité triangulaire.[/latex]
A: [latex]$\forall x,y \in \mathbb{R}^n, ||x|| - ||y|| \leq ||x - y||$[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de boule ouverte.[/latex]
A: [latex]Soit $a \in \mathbb{R}^n$ et $r \in \mathbb{R}^*_+$. On appelle boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble défini par:\\
$\mathcal{B}(a,r) = \{ x \in \mathbb{R}^n, d(x,a) < r \}$[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de boule fermée.[/latex]
A: [latex]Soit $a \in \mathbb{R}^n$ et $r \in \mathbb{R}^*_+$. On appelle boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble défini par:\\
$\mathcal{B}_F(a,r) = \{ x \in \mathbb{R}^n, d(x,a) \leq r \}$[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'ouvert en mathématiques.[/latex]
A: [latex]Soit $\mathcal{O}$ une partie de $\mathbb{R}^n$. On dit que $\mathcal{O}$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ si $\forall a \in \mathcal{O}, \exists r_a > 0$ tel que  $\mathcal{B}(a, r_a) \subset \mathcal{O}$.[/latex]

Q: [latex]Donner un exemple d'ouvert en mathématiques.[/latex]
A: [latex]Une boule ouverte de $\mathbb{R}^n$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de fermé en mathématiques.[/latex]
A: [latex]Soit $\mathcal{F}$ une partie de $\mathbb{R}^n$.\\
On dit que $\mathcal{F}$ est un fermé si son complémentaire dans $\mathbb{R}^n$ est un ouvert.[/latex]

Q: [latex]Donner un exemple de fermé en mathématiques.[/latex]
A: [latex]Une boule fermée de $\mathbb{R}^n$ est un fermé de $\mathbb{R}^n$[/latex]

Q: [latex]Définir la notion ce qu'est une partie de $\mathbb{R}^n$ bornée.[/latex]
A: [latex]Une partie $A$ de $\mathbb{R}^n$ est dite bornée si $\exists M > 0, \forall x \in A, ||x|| \leq M$.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de point intérieur et de point extérieur à une partie de $\mathbb{R}^n$.[/latex]
A: [latex]Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}^n$. Un point $x$ de $A$ est dit intérieur à $A$ si $\exists \delta > 0$ tel que $\mathcal{B}(x, \delta ) \subset A$.\\
On appelle intérieur de $A$ l'ensemble des points intérieurs à $A$.\\
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}^n$. Un point $x$ de $A$ est dit extérieur à $A$ si $\exists \delta > 0$ tel que $\mathcal{B}(x, \delta ) \subset \mathop{A}\limits^{\_}$.\\
On apelle extérieur de $A$ l'ensemble des points extérieurs de $A$.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de frontière d'une partie de $\mathbb{R}^n$.[/latex]
A: [latex]On appelle frontière de $A$ l'ensemble des points $x$ adhérents à la fois à $A$ et à son complémentaire.\\
La frontière de $A$ est l'ensemble des points adhérents de $A$ qui ne sont pas à l'intérieur de $A$[/latex]

Q: [latex]Enoncer la notion de point adhérent à une partie de $\mathbb{R}^n$.[/latex]
A: [latex]On appelle point adhérent de $A$ tout point $x$ de $\mathbb{R}^n$ tel que, toute boule ouverte de centre $x$ rencontre $A$ (a une intersection non vide avec $A$).[/latex]

Q: [latex]Soit $f : I \to \mathbb{R}^n$ et $t_0 \in I$. $f$ admet une limite en $t_0$ si et seulement si... (porter attention à l'espace d'arrivée de $f$ !)[/latex]
A: [latex]Soit $f : I \to \mathbb{R}^n$ et $t_0 \in I$. $f$ admet une limite en $t_0$ si et seulement si \textbf{les fonctions coordonnées de $f$ admettent une limite en $t_0$}[/latex]

Q: [latex]$f$, une fonction à plusieurs variables, est dérivable en $t_0$ si et seulement si...[/latex]
A: [latex]$f$, une fonction à plusieurs variables, est dérivable en $t_0$ si et seulement si \textbf{ses fonctions coordonnées le sont.}[/latex]