Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Espérance et variance d'une variable aléatoire

Q: [latex]Définir la notion d'espérance.[/latex]
A: [latex]
Soit $X$ var à valeurs dans un ensemble dénombrable $\{x_n, n \in \mathbb{N}\}$.
$X$ est dite d'espérance finie si la série $\sum x_n P(X = x_n)$ est absolument convergente.
Alors, on appelle espérance de $X$ et on note $E(X) = \mathop\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} x_n P(X = x_n)$
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de variable aléatoire centrée.[/latex]
A: [latex]On dit qu'une variable aléatoire est centrée sur $E(X) = 0$.[/latex]

Q: [latex]$X$ est d'espérance finie $\iff$ ... ?[/latex]
A: [latex]$X$ est d'espérance finie $\iff \sum P(X \geq n)$ converge[/latex]

Q: [latex]Enoncer le théorème de transfert.[/latex]
A: [latex]
$f(x)$ est d'espérance finie $\iff \sum f(x_n)P(X = x_n)$ absolument convergente.
Alors: $E(f(X)) = \sum f(x_n)P(X = x_n)$.
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[latex]Enoncer la propriété de linéarité de l'espérance.[/latex]

Q: [latex]$E(aX + b) = ?$ où $a$ et $b$ deux réels et $X$ var ?[/latex]
A: [latex]$E(aX + b) = aE(X) + b$[/latex]

[latex]Enoncer la proposition de croissance de l'espérance.[/latex]

Q: [latex]Soit $(X, Y)$ couple de vard discrètes, quelle proposition nous permet de montrer que l'espérance d'une des deux est finie ?[/latex]
A: [latex]Si $|X(w)| < Y(w) \forall w \in \Omega$, $Y$ d'espérance finie $\Rightarrow$ $X$ d'espérance finie.[/latex]

[latex]Donner la proposition de l'espérance du produit de deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes.[/latex]

[latex]Donner les espérances des 5 lois usuelles.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de moment d'ordre 2.[/latex]
A: [latex]Soit $X$ vard
Si $X^2$ d'espérance finie, on dit que $X$ admet un moment d'ordre 2.
[/latex]

Q: [latex]Que déduit-on sur l'espérance d'une variable admettant un moment d'ordre 2 ?[/latex]
A: [latex]$X$ admet un moment d'ordre 2 $\Rightarrow X$ d'espérance finie.[/latex]

Q: [latex]Enoncer l'inégalité de Cauchy-Schwarz \textbf{dans le cadre des variables aléatoires}.[/latex]
A: [latex]Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoire \textbf{admettant un moment d'ordre 2}.
Alors, $XY$ est d'espérance finie et $(E(XY))^2 \leq E(X^2)E(Y^2)$.
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Q: [latex]Définir la notion de variance.[/latex]
A: [latex]
\textbf{Si X admet un moment d'ordre 2}:
On appelle variance de $X$ le réel $V(X) = E((X - E(X))^2)$.
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'écart type.[/latex]
A: [latex]
\textbf{Si X admet un moment d'ordre 2}:
On appelle écart type de $X$ le réel $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
[/latex]

Q: [latex]Donner la formule secondaire de la variance.[/latex]
A: [latex]
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$
[/latex]

Q: [latex]$V(aX + b) = ?$[/latex]
A: [latex]$V(aX + b) = a^2V(X)$[/latex]

Q: [latex]$V(X) = 0 \iff ?$[/latex]
A: [latex]$V(X) = 0 \iff X = E(X)$ presque sûrement.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de covariance.[/latex]
A: [latex]Soient $X$ et $Y$ deux vard admettant un moment d'ordre 2.
On appelle covariance de $X$ et de $Y$ et on note $cov(X,Y)$ le réel :
$cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y-E(Y)))$.
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Q: [latex]Définir la notion de variables aléatoire non corrélées.[/latex]
A: [latex]Si $cov(X,Y) = 0$, $X$ et $Y$ sont dites non corrélées.[/latex]

[latex]ATTENTION, la réciproque de la dernière proposition est fausse.[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire de la variance d'une somme de vard ?[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Si $X$ et $Y$ admettent un moment d'ordre 2, $V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2cov(X,Y)$
\item Si $X$ et $Y$ admettent un moment d'ordre 2 + indépendante, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$
\item Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires réelles discrètes admettant un moment d'ordre 2, mutuellement indépendantes, $V(\mathop\sum\limits_{k=1}^n X_k) = \mathop\sum\limits_{k=1}^n V(X_k)$
\end{enumerate}
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[latex]Donner la variance pour les lois usuelles.[/latex]

[latex]Définir la notion de coefficient de corrélation.[/latex]

Q: [latex]Quelle loi permet de compter le nombre d'occurences d'un événement donné sur un certain nombre d'expériences ?[/latex]
A: [latex]La loi binomiale.[/latex]

Q: [latex]On se place dans le cadre du fonctionnement d'un réfrigérateur. Qu'est-ce qui justifie que l'on choisisse $T_{evap} \leq T_f$ et $T_{cond} \geq T_c$ ?[/latex]
A: [latex]
Il faut que le transfert thermique s'effectue de la source froide vers l'évaporateur, donc $T_F \geq T_{evap}$.
Il faut que le transfert thermique se fasse donc de même du condensateur vers la source chaude: $T_{cond} \geq T_C$.
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Q: [latex]Quelles hypothèses permettent de modéliser les transformation $4 \to 1$ et $2 \to 3$ comme des isobares ?[/latex]
A: [latex]
L'hypothèse est qu'il n'y a \underline{pas de perte de charges dans les échangeurs thermiques}: $dP = 0$, \underline{le fluide est supposé parfait}.
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