Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Nombres complexes (synthèse PTSI)

Q: |z| = ?
A: |z| est appelé module de z et |z| = racine_carrée(Re(z)^2+Im(z)^2). C'est la distance séparant l'image(inverse de l'affixe) de z à l'origine du repère !

Q: |z|^2 = ?
A: |z|^2 = z*z_barre

Q: Citer les formules d'Euler.
A: cos(teta) = (e(iteta)+e(-iteta))/2
sin(teta) = (e(iteta)-e(-iteta))/2i

Q: Citer la formule de Moivre.
A: (e^iteta)^n = e^i*n*teta (n dans Z)

Q: Qu'elle est la forme trigonométrique de z ?
A: re^iteta ou encore plus souvent |z|e^iteta

Q: Qu'est ce qu'une racine n-ième de l'unité ?
A: un complexe z tel que z^n = 1

Q: Qu'est-ce que Un et comment cet ensemble est-il défini
A: Un est l'ensemble des racines n-ième de l'unité. Il contient toujours n éléments et est défini par:
Un = {exp(2ikpi/n) | k dans [|0;n-1|]}

Q: [latex]Définir la notion de module dans le cadre des nombres complexes.[/latex]
A: [latex]
$z = a + ib \Rightarrow |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
[/latex]

Q: [latex]Comment calculer le conjugué d'un complexe lorsqu'il est écrit sous forme exponentielle ?[/latex]
A: [latex]
On utilise: $\overline{re^{i\theta}} = re^{-i\theta}$
[/latex]

Q: [latex]Quel est le réflexe à avoir dès qu'on a du $1 + e^{it}$ ?[/latex]
A: [latex]
Angle moitié:
$1 + e^{-it} = e^{i(\frac{t}{2} - \frac{t}{2})} + e^{i(\frac{t}{2} + \frac{t}{2})} = 2e^{i\frac{t}{2}}cos(\frac{t}{2})$
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