Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Compléments de calcul différentiel

Q: [latex]Soit $f: \mathcal{U} \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, définir la notion de maximum local de $f$ en $a \in \mathcal{U}$.[/latex]
A: [latex]
On dit que $f$ présente un maximum, (resp. minimum) local en $a$ lorsque:
$\exists r > 0, \forall (x,y) \in \mathbb{U}, ||(x,y) - a|| < r \Rightarrow f(x,y) \leq f(a)$ (resp $f(x,y)  \geq f(a)$).
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Q: [latex]Soit $f: \mathcal{U} \in \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, définir la notion de maximum global de $f$ en $a \in \mathcal{U}$.[/latex]
A: [latex]
On dit que $f$ présente un maximum, (resp. minimum) local en $a$ lorsque:
$\forall (x,y) \in \mathbb{U}, f(x,y) \leq f(a)$ (resp $f(x,y)  \geq f(a)$).
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Q: [latex]Que peut-on dire de $f: \mathcal{U} \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ en $a$, lieu d'un extremum local ? \textbf{+ SUBTILITE}[/latex]
A: [latex]
Soit $f \in C^1$ sur un ouvert $\mathcal{U} \subset \mathbb{R}^2$. Si $f$ présente en $a  \in \mathcal{U}$ un extremum local, alors $\nabla f(a) = 0$.
$a$ est alors appelé un \textbf{point critique} de $f$.\\
Attention cependant, la réciproque est fausse.
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[latex]Donner la formule de Taylor-Young à l'ordre 2 pour une fonction $f \in C^2(U \subset \mathbb{R}^2, \mathbb{R})$.[/latex]

[latex]Définir la notion de matrice Hessienne.[/latex]

[latex]\textit{(donner la suite)} %Mots clés: Hessienne matrice det determinant trace H_f(a) valeurs prorpres même signe inversible[/latex]

Q: [latex]Comment détermine-t-on les extrema d'une fonction à deux variables ?[/latex]
A: [latex]On peut déterminer dans un premier temps les points critiques de $f$, car tout extremum est un point critique.
Ensuite, on applique le théorème lié à la matrice hessienne \text{si et seulement si cette matrice est inversible}. Sinon on le montre à l'ancienne en revenant à la définition en montrant que ce n'est ni un maximum si un minimum.
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[latex]\textit{Bien dire la conséquence qui est le plus important dans cette carte.}[/latex]

Q: [latex]Comment démontre-t-on rapidement que $\delta(x,y) = (x-2y, y)$ et $\delta^{-1}$ sont $C^1(\mathbb{R}^2)$ ?[/latex]
A: [latex]
Leurs fonctions coordonnées sont les polynômes en $x$ et en $y$. Elles sont de classe $C^1(\mathbb{R})$.
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Q: [latex]Que faut-il s'assurer de ne pas oublier de faire lors de la détermination du maximum d'une fonction à deux variables ?[/latex]
A: [latex]
Faire l'analyse des points singuliers de la fonction ne nous permettra pas de déterminer forcément tous les extremas possibles.
En particulier, si on étudie la fonction sur un domaine borné, il peut tout à fait il y avoir un ou plusieurs extremums situés \underline{sur la frontière}. Il faut donc s'assurer de faire l'étude également pour ces points pour ne pas omettre ces informations et rendre une réponse incomplète (et surtout ne pas bien comprendre ce dont il est question dans l'exercice).
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Q: [latex]Quel est le point souvent laissé de côté dans la propriété sur les matrices Hessienne ?[/latex]
A: [latex]
Avoir un déterminant de $det(H_f) < 0$ ne signifie pas que l'on ne peut rien dire.
On peut dire que les deux valeurs propres sont distinctes $\Rightarrow$ point col.\\
La seule fois où on ne peut rien dire est quand on a $det(H_f) = 0$.
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Q: [latex]Comment on démarre un exercice de résolution d'équation à dérivées partielles ?[/latex]
A: [latex]
On pose $f = g\circ \phi$ ou $g \circ \phi^{-1}$, pas de règle, faut essayer de réfléchir à ce qui va marcher.
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Q: [latex]Soit $f:(x,y) \mapsto xe^y + ye^x$. On suppose qu'on vient de faire une étude disant que le seul point critique sur $\mathbb{R}^2$ est $(-1,-1)$ et est un point col.
On réduit l'intervalle d'étude à $[-1, 1]^2$. Comment fait-on l'étude des extrema ?
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A: [latex]
\begin{enumerate}
\item $[-1, 1]^2$ est un fermé borné et $f$ y est continue. $f$ admet donc des extrema globaux sur ce produit cartésien d’intervalles.
\item  Le seul point critique ne donne pas d'extrema.
\item Les extremas sont donc atteints sur la frontière. On pose d'abord $y = 1$, $x\in [-1,1]$.
$f(x, 1) = ex + e^x$, Donc : $f(x,1)$ est strictement croissante sur $[-1, 1]$, le minimum est $-e + e^{-1}$, le maximum est $2e$.
\item On refait la même chose en posant $y = -1$.
\item Conclure en prenant le plus grand maximum et l eplus petit minimum de ceux trouvés dans la disjonction de cas précédente.
\end{enumerate}
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