Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Intégration

Q: Enoncer la propriété d'inégalité triangulaire dans le cas des intégrales.
A: [latex]Inégalité triangulaire: \\
$|\int_a^b f| \leq \int_a^b|f|$[/latex]

Q: Enoncer la propriété d'inégalité de la moyenne dans le cadre des intégrales.
A: [latex]Inégalité de la moyenne: \\
$|\int_{[a,b]}fg| \leq \mathop{sup}\limits_{[a,b]}|f| \times \int_{[a,b]}|g|$[/latex]

Q: Remplir le tableau suivant:
A: [latex]$x\mapsto x^\alpha \longrightarrow \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$\\
$x\mapsto \frac{1}{x} \longrightarrow ln(x)$\\
$x\mapsto e^x \longrightarrow e^x$\\
$x\mapsto ln(x) \longrightarrow xln(x) -x$:\\
$x\mapsto sin(x) \longrightarrow -cos(x)$\\
$x\mapsto cos(x) \longrightarrow sin(x)$\\
$x\mapsto tan(x) \longrightarrow ln(|cos(x)|)$\\
$x\mapsto \frac{1}{cos^2(x)} \longrightarrow tan(x)$\\
$x\mapsto \frac{1}{1+x^2} \longrightarrow arctan(x)$\\
$x\mapsto \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \longrightarrow arcsin(x)$\\
$x\mapsto sh(x) \longrightarrow ch(x)$\\
$x\mapsto ch(x) \longrightarrow sh(x)$[/latex]

Q: [latex]Rappeler la méthode pour calculer une intégrale de la forme $\int cos^p(t)sin^q(t)dt$[/latex]
A: [latex]si $p$ et $q$ sont impairs, on pose $u = sin^2(t)$[/latex]

Q: [latex]Montrer que $f$ définie comme $f(x) = \int_x^{x^2} \frac{1}{ln(t)}dt$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*_+\setminus \{ 1\}$ son domaine de définition.[/latex]
A: [latex]Sur $]0;1[: \frac{1}{ln(t)}$ continue et $x^2 \in ]0;1[$.\\
Sur $]1;+\infty [$, $x^2 \in ]1; +\infty[$ et $\frac{1}{ln(t)}$ continue.\\
Donc: $f$ dérivable sur $D$. Soit $F:D\longrightarrow \mathbb{R}$ la primitive de $\frac{1}{n}$, $f(x) = F(x^2) - F(x)$[/latex]