Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Espaces probabilisés

Q: [latex]Définir la notion d'expérience aléatoire.[/latex]
A: [latex]Une expérience aléatoire est une expérience dont on peut prévoir quels sont les résultats possibles, encore appelés issues ou réalisations, mais dont on ignore lequel sera réalisé avant que l'expérience soit faite.[/latex]

Q: Définir la notion d'univers dans le cadre des espaces probabilisés.
A: [latex]L'univers associé à une expérience aléatoire est l'ensemble des résultats possibles.[/latex]

Q: Qu'est-ce qu'un événement ?
A: Un événement est une partie de l'univers associé à une expérience aléatoire.

Q: Définir la notion d'événements incompatibles.
A: [latex]Si $A \cap B = \oslash$, $A$ et $B$ sont dits incompatibles.[/latex]

Q: Définir la notion de système complet d'événement.
A: [latex]Soit $\Omega$ un univers. Toute famille $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ d'événements de $\Omega$ telle que:
\begin{itemize}
\item $\Omega = \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} A_n$
\item $\forall i,j \in\mathbb{N}, i\neq j \Rightarrow A_i \cap A_j = \oslash$
\end{itemize}
est appelé \underline{système complet dénombrable d'événements}[/latex]

Q: Définir la notion de tribu d'événements.
A: [latex]Soit $\Omega$ un univers. Tout sous-ensemble $\mathcal{T}$ de $\mathcal{P}(\Omega)$ tel que:
\begin{itemize}
\item $\Omega \in \mathcal{T}$
\item $\forall A \in \mathcal{T}, \mathop{A}\limits^{\;\_} \in \mathcal{T}$
\item Pour toute suite $(A_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $\mathcal{T}$,$ \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} A_n \in \mathcal{T}$.
\end{itemize}
est appelée tribu d'événements de $\Omega$.\\
Les éléments de la tribu $\mathcal{T}$ sont des événements de $\Omega$.[/latex]

Q: Définir la notion de probabilité.
A: [latex]Soit $\Omega$ un ensemble et $\mathcal{T}$ une tribu sur $\Omega$.\\
On appelle probabilité sur $(\Omega, \mathcal{T})$ toute application $P: \mathcal{T}\to [0,1]$ telle que:
\begin{itemize}
\item $P(\Omega )=1$
\item $\sigma$-additivité pour toute suite $(A_n)_{n\geq 0}$ d'événements incompatibles deux à deux de $\mathcal{T}$. \\
i.e. pour toute suite $(A_n)_{n\geq 0}$ d'événements incompatibles deux à deux de $\mathcal{T}$:\\
$P(\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty} A_n) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} P(A_n)$.
\end{itemize}
Pour tout élément $A$ de $\mathcal{T}$, $P(A)$ est appelée la probabilité de l'événement $A$.
[/latex]

Q: Définir la notion d'espace probabilisé.
A: [latex]On appelle espace probabilisé la donnée d'un univers $\Omega$, d'une tribu $\mathcal{T}$ de $\Omega$ puis d'une probabilité sur $(\Omega,\mathcal{T})$.[/latex]

Q: Définir la notion d'événement négligeable et presque sûr.
A: [latex]Soit $(\Omega,\mathcal{T},P)$ un espace probabilisé. \\
- Un événement $A$ est négligeable si $P(A) = 0$.\\
- Un événement $A$ est presque sûr si $P(A) = 1$.[/latex]

Q: [latex]$P(A\cup B) = ...$[/latex]
A: [latex]$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$[/latex]

Q: [latex]Si $A \subset B$, alors ... (en proba)[/latex]
A: [latex]Si $A \subset B$, alors $P(A) \leq P(B)$[/latex]

Q: [latex]$P(A\setminus B) = ...$[/latex]
A: [latex]$P(A\setminus B) = P(A) - P(A \cap B)$[/latex]

[latex].%continuité croissante décroissante sous additivité espace probabilité suite évélements \mathcal{T}[/latex]

Q: [latex]Enoncer le théorème de probabilité conditionnelle.[/latex]
A: [latex]Soit $(\Omega, \mathcal{T}, P)$ un espace probabilisé. Soit $A \in \mathcal{T}$, tel que $P(A) > 0$.\\
Soit $P_A$ l'application de $\mathcal{T}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.\\
$P_A$ est une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{T}, P)$, appelée \underline{probabilité conditionnelle} et est notée $P_A(B)$ ou $P(B|A)$.[/latex]

Q: [latex]Enoncer la formule des probabilités composées.[/latex]
A: [latex]Soit $(\Omega, \mathcal{T}, P)$ un espace probabilisé. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit $(A_1, ..., A_n)$ une famille finie d'événements de $\mathcal{T}$, tels que $P(A_1\cap ... \cap A_{n-1}) > 0$.\\
Alors $P(A_1 \cap ... \cap A_n ) = P(A_1)P_{A_1}(A_2)P_{A_1\cap A_2}(A_3) ... P_{A_1\cap ... \cap A_{n-1}}(A_n).$[/latex]

Q: [latex]Enoncer les formules des probabilités totales.[/latex]
A: [latex]Soient $A$ et $B$ deux événements de l'espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{T}, P)$ tels que $P(A) > 0$. Alors $P(B) = P_A(B)P(A) + P_{\mathop{A}\limits^\_}(B)P(\mathop{A}\limits^\_)$\\
Plus généralement,\\
Soit $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ un système complet d'événements de l'espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{T}, P)$.\\
Pour tout événement $B$ de $\Omega$, la série $\sum P(B\cap A_n)$ converge et $P(B) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} P(B \cap A_n) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} P_{A_n}(B) \times P(A_n)$[/latex]

Q: [latex]Enoncer la formule de Bayes.[/latex]
A: [latex]Soit $A$ et $B$ deux événements de l'espace probabilité $(\Omega, \mathcal{T}, P)$ tels que $P(A)P(B) > 0$. Alors, $P_A(B) = \frac{P_B(A) \times P(B)}{P(A)}$\\
Plus généralement,\\
$P(A_j|B) = \frac{P_{A_j}(B) \times P(A_j)}{\sum\limits_{k=0}^{+\infty} P(A_k)\times P_{A_k}(B)}$[/latex]

Q: [latex]Donner la propriété reliant la notion d'indépendence aux probabilités conditionnelles.[/latex]
A: [latex]Soient $A$ et $B$ deux événements de l'espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{T}, P)$ tels que $P(A) > 0$. \\$A$ et $B$ sont indépendants $\iff P_B(A) = P(A)$[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'indépendance pour deux événements.[/latex]
A: [latex]$A$ et $B$ indépendants $\iff P(A\cap B) = P(A) \times P(B)$[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'événements deux à deux indépendants.[/latex]
A: [latex]Des événements $(A_1,...,1_n)$ de l'espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{T}, P)$ sont dits deux à deux indépendants si pour tout couple $(i,j)$ d'éléments distincts:\\
$P(A_i \cap A_j) = P(A_i)\times P(A_j)$[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'événements mutuellement indépendants.[/latex]
A: [latex]Des événements $(A_1, ..., A_n)$ de l'espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{T}, P)$ sont dits mutuellements indépendants si pour tout sous-ensemble $I$ de $[| 1, n |]$: \\
$P(\bigcap\limits_{i\in I} A_i) = \prod\limits_{i\in I} P(A_i)$[/latex]

Q: [latex]Quel est le lien entre événements mutuellement indépendants et événements 2 à 2 indépendants ?[/latex]
A: [latex]Soit $n\geq 3$ et $(A_1, ..., A_n)$ une famille d'événements mutuellements indépendants.\\
Alors, les événements $(A_1, ..., A_n)$ sont 2 à 2 indépendants.\\
\underline{La réciproque est fausse}.[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire de la probabilité d'une union d'événements ?[/latex]
A: [latex]
Si \textbf{et seulement si} les évènements sont deux à deux incompatibles, alors $P(\bigcup_{k=0}^n A_k) = \sum_{k=0}^n P(A_k)$
Sinon, on peut utiliser la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de variable aléatoire discrète.[/latex]
A: [latex]Une variable aléatoire est dite discrète lorsque l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre est fini ou infini dénombrable.[/latex]