Title: PTE / Physique / Mécanique du solide / Physique - Moment cinétique - PTSI

Définir le moment cinétique d'un point matériel M par rapport au point O.

Q: Définir le moment cinétique d'un point M par rapport à un axe orienté Δ.
A: [latex]On considère l'axe orienté $\Delta$ passant par le point $O$ et dirigé par le vecteur $\vec{u_\Delta}$.\\
Alors: $L_\Delta (M) = \vec{L_O}(M).\vec{u_\Delta}$[/latex]

Q: Définir le moment d'une force par rapport à un point O + propriété.
A: Il faut aussi savoir que le moment des forces par rapport à un point a une propriété d'additivité. Le moment de la somme les forces extérieures appliquées au système est la somme des moments de chacune de ces forces.

Définir le moment d'une force par rapport à un axe orienté Δ.

Q: Définir une droite d'action.
A: On appelle droite d'action, la droite passant par le point M d'application de la force et ayant pour vecteur directeur un vecteur colinéaire à cette force.

Q: Définir un bras de levier.
A: On appelle bras de levier, la distance minimale b séparant l'axe de rotation Δ et la droite d'action (M, vect(F)_parallèle)

Q: Donner le théorème du moment cinétique dans un référentiel galiléen (TMC).
A: Dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle du moment cinétique par rapport à un point O fixe est égale au moment au point O de la résultante des forces extérieures appliquées à M:

Q: Démontrer le TMC
A: cf cours

Donner le théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe et orienté pour un point matériel M.

Q: [latex]Exprimer le moment d’une force par rapport à un axe orienté en utilisant le bras de levier.[/latex]
A: [latex]
Le moment d'une force $\vec{F}$ par rapport à l'axe $\Delta$ s'exprime ainsi en utilisant le bras de levier $b$ et la force $\vec{F}_\perp$ qui dirige la droite d'action:
\begin{itemize}
\item $\vec{M_\Delta}(\vec{F}) = +b||\vec{F}_\perp ||$ si $\vec{F}_\perp$ tend à faire tourner le point $M$ autour de $\Delta$ dans le sens positif.
\item $\vec{M_\Delta}(\vec{F}) = -b||\vec{F}_\perp ||$ si $\vec{F}_\perp$ tend à faire tourner le point $M$ autour de $\Delta$ dans le sens négatif.
\end{itemize}
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Q: [latex]Quelle erreur fais-je dans la formule du bras de levier ?[/latex]
A: [latex]
Il n'y a pas de $\dot\theta$ dans la formule du bras de levier, sinon ce n'est pas homogène.
Ainsi, on a $M_\Delta(F) = \pm b F_\perp$
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Q: [latex]Que peut-on dire de l'énergie potentielle d'une force centrale conservative ?[/latex]
A: [latex]
On a: $\vec{F} = F_r(r)\vec{e_r}$
$F_r(r) = -\frac{dE_p(r)}{dr}$
En effet, $-dE_p(r) = \delta W(\vec{F}) = \vec{F}.d\vec{OM} = F.dr$
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Q: [latex]À quoi ça sert d'introduire la notion d'énergie potentielle effective ?[/latex]
A: [latex]
Pour un point matériel soumis à une force centrale conservative, on a: $Em = \frac{1}{2}m\dot r ^2 + E_{p,eff}(r)$.
La première partie de l'expression correspond à l'énergie cinétique radiale.
L'énergie cinétique axiale est comprise dans l'expression de l'énergie potentielle effective: $E_{p,eff}(r) = \frac{1}{2}(\frac{C}{r})^2 + E_p(r)$.
\textbf{Cela sert à se ramener à l'étude d'un mouvement radial qui s'apparente à un mouvement conservatif unidimensionnel}.
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Q: [latex]Démonstration de la troisième loi de Kepler: clés de voute.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Dans le programme, il est spécifié que l'on se place strictement dans le cadre du mouvement circulaire.
\item La force est $\vec{F} = \frac{-GM_{astre}m}{R^2}\vec{e}_r$
\item Montrer que le mouvement circulaire est forcément uniforme.
\item PFD: obtenir la valeur de la vitesse en jouant avec les valeurs de $v$ et de $a$ de l'étude cinématique.
\item Dire que $T = \frac{L}{v}$ où $L$ est la circonférence du cercle.
\end{enumerate}
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