Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Equations différentielles - PTSI + Mise à jour PTE
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Q: Comment résoudre une EDL1 ? (y'+a(t)y=b(t))
A: y'+a(t)y=b(t)
-Résoudre l'équation homogène associée
->l'ens des sols est de la forme lambda*exp(-A(t)) (ou lambda*exp(-a*t) si a constante)
-Trouver une solution particulière
-résoudre par théorème de structure

Q: Comment trouver une solution particulière à (E) si b(t) est un polynôme ?
A: La solution particulière est un polynôme dont il faut déterminer au préalable le degré

Q: [latex]Comment trouver une solution particulière à une EDL si $b(t)$ est de la forme $Acos(wx)+Bsin(wx)$ ?[/latex]
A: [latex]une solution particulière est de la même forme[/latex]

Q: Quelle technique qui fonctionne toujours permet d'obtenir une solution particulière à une EDL1?
A: Variation de la constante

Q: Comment résoudre une EDL2 ?
A: Comme une EDL1 sauf que pour résoudre l'equation homogène on utilise l'équation caractéristique (De plus: PAS DE VARIATION DE LA CONSTANTE POUR LE MOMENT)

Q: Solutions de Eh selon delta de l'équation caractéristique ? (bien évidemment, on parle d'EDL2)
A: [latex]
\begin{itemize}
\item Si $\Delta > 0$ (ou $\neq 0$ dans $\mathbb{C}$), alors les solutions sont de la forme:
$\lambda e^{r_1t} + \mu e^{r_2t}$.
\item Si $\Delta = 0$ alors les solutions sont de la forme:
$(\lambda + \mu t) e^{r_0t}$
\item Si $\Delta < 0$ (se référer aux solutions pour $\Delta > 0$ dans $\mathbb{C}$), alors les solutions sont de la forme:
$(\lambda cos(\beta t) + \mu sin(\beta t))e^{\alpha t}$
\end{itemize}
[/latex]

Q: [latex]Quelle est une solution à une EDL2 dont le second membre est une exponentielle ?[/latex]
A: [latex]
\begin{itemize}
\item $C e^{\alpha t}$ si $\alpha$ pas solution de $(E_r)$ l'équation caractéristique.
\item $C t e^{\alpha t}$ si $\alpha$ solution simple.
\item $C t^2 e^{\alpha t}$ si $\alpha$ solution double.
\end{itemize}[/latex]

Q: Quelle est une solution de (E) dont le second membre est le la forme: A*cos(wt)*exp(k*t) (resp. A*sin(wt)*exp(k*t)) ?
A: On met sous la forme exponentielle complexe A*exp((k+iw)t) puis on récupère Re() (resp. Im())

Q: Savoir résoudre un problème de recollement
A: cf cours

Q: Savoir démontrer le principe de superpostion (si y vérifie EDL1, alors il existe y0 tq y = yp + y0)
A: cf cours

Q: Démontrer la résolution d'une EDL2 quand delta =0, <0 et !=0
A: cf cours
(1- démontrer les deux lemmes puirs
2- démontrer pour delta >= 0
3- démontrer pour delta <0)

Q: [latex]Comment résoud-on une équation différentielle du $2^{eme}$ ordre avec pour second membre: $xe^x$ ?[/latex]
A: [latex]On pose $y(t) = (ax +b)e^x$ et on résoud pour obtenir la valeur de $a$ et de $b$.[/latex]

Q: [latex]Enoncer la proposition du principe de superposition dans le cadre des équations différentielles du deuxième ordre.[/latex]
A: [latex]Soit $(a,b) \in \mathbb{K}^2$, et $f_1, f_2 : I \to \mathbb{K}$ des fonctions continues.
Si $y_1$ est solution sur $\mathbb{R}$ de $y'' + ay' + by = f_1(x)$ et $y_2$ est solution sur $\mathbb{R}$ de $y'' + ay' + by = f_2(x)$, alors la fonction $y_1 + y_2$ est solution de $y'' + ay' + by = f_1(x) + f_2(x)$
\textit{NOTE: il existe évidemment la même chose pour les EDL1}
[/latex]

Q: [latex]Donner l'ensemble des solutions d'une équation différentielle homogène du premier ordre.[/latex]
A: [latex]
$y' + a(t)y = 0$
Soit $A$ une primitive de $a$.
Donc: $S_H = \{ t\mapsto \lambda e^{-A(t)} \}$
[/latex]

Q: [latex]Donner la méthode de la variation de la constante pour une ELD1.[/latex]
A: [latex]
$a(t)y' + b(t)y = c$
\begin{enumerate}
\item Résoudre d'EDH
\item Poser $\lambda \in \mathcal{C}^1, h(t) = \lambda (t)e^{-A(t)}$ soit solution particulière de l'ED.
\item Calculer $h(t)$ et résoudre l'ED.
\item En déduire la forme de $h$ en primitivant la résultat (on trouvera $h'$ en premier)
\item En déduire l'ensemble des solutions à l'aide du théorème de structure.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Donner le théorème de Cauchy pour les EDL1 et les EDL2, et donner l'interprétation graphique de ce théorème. (\textbf{Attention à la subtilité})[/latex]
A: [latex]
Soient $a,b$ et $c$ trois fonctions continues sur $I$ et ne s'annulant pas sur $I$. Soit $(t_0, y_0) \in I \times \mathbb{K}$.
Alors, il existe une unique sulotion sur $I$ au problème de Cauchy:
$
\left\{\begin{matrix}
a(t)y + b(t)y' = c(t) \\
y(t_0) = y_0
\end{matrix}\right.
$
De façon analogue pour le deuxième ordre:
\textbf{Si de plus $a \neq 0$, alors} il existe une unique solution sur $I$ au problème de Cauchy:
$
\left\{\begin{matrix}
a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = d(t) \\
y(t_0) = y_0\\
y'(t_0) = y_1
\end{matrix}\right.
$
$\rightarrow$ La condition $a \neq 0$ doit être indispensable pour assurer le résultat !
\textbf{Interprétation graphique du théorème}:
\begin{enumerate}
\item Il existe une seule et une seule courbe intégrale (courbe représentative d'une solution d'une équa diff) passant par $(t_0, y_0)$.
\item Les courbes intégrales de ne coupent pas.
\item Si l'équation différentielle est homogène, la fonction nulle est solution de l'équation, donc, si les hypothèses du théorème de Cauchy sont vérifiée, tout solution qui n'est pas la fonction nulle ne s'annule pas sur $I$.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce qu'une solution particulière d'une équation différentielle de la forme $y' + ay = e^{mt}$ ? [/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item $t \mapsto Q(t)e^{mt}$ avec $Q$ polynôme de degré nul si $-a \neq m$.
\item $t \mapsto Q(t)e^{mt}$ avec $Q$ polynôme de degré 1 si $-a =m$.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Donner la méthode pour la résolution d'une équation différentielle nécessitant un recollement.[/latex]
A: [latex]
On se basera sur l'exemple de l'équation différentielle: $ty' - y =0$ pour laquelle on réalise le recollement en $0$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle sur l'ensemble qui nous arrange. (ici, $I = \mathbb{R}_+^*$ ou $\mathbb{R}_-^*$)
\item On obtient une solution différente sur chaque tronçon. (ici, $\forall x > 0, f(x) = \lambda$ et $\forall x > 0, f(x) = \mu$)
\item On a une première condition qui nous dit que la limite de $f$ entre les deux tronçons doit être égale. (ici, $f(0) = \lim\limits_{x \to 0^+}f(x) =\lim\limits_{x \to 0^-}f(x)$)
\item Un deuxième condition porte sur les dérivées qui doivent avoir la même valeur entre les deux tronçons. (ici, $f'(0) = \lim\limits_{x \to 0^+}f(x) = \lambda = \mu$. Condition imposée: $\lambda = \mu$).
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]
Définir la notion de courbes intégrales.
[/latex]
A: [latex]
On appelle courbes intégrales les courbes représentatives des solutions d'une équation différentielle.
[/latex]

Q: [latex]Après avoir donné les façons usuelles de
 trouver la solution générale d'une ELD2, énoncer la méthode de la variation de la constante pour celles-ci.[/latex]
A: [latex]
Il n'existe pas de méthode générale pour trouver les solutions d'une ELD2. On peut déjà essayer de:
\begin{itemize}
\item Chercher une solution polynomiale, en cherchant au préalable son degré.
\item Effectuer un changement de variable.
\item Effectuer un changement de fonction inconnue.
\end{itemize}
Si jamais cela ne suffit pas:
\textbf{Méthode de la variation de la constante}:
\begin{enumerate}
\item Soit $h$ une solution particulière de $(E_H)$, \underline{ne s'annulant pas sur $I$}.
\item On pose $f:t\mapsto \lambda(t)h(t)$.
On a alors:
$
\left\{\begin{matrix}
f'(t) = h'(t)\lambda(t)  + \lambda'(t)h(t)\\
f''(t) = h''(t)\lambda(t) + 2h'(t)\lambda'(t) + h(t)\lambda''(t)
\end{matrix}\right.
$
\item On remplace $y, y'$ et $y''$ dans $(E)$.
\item On obtient alors une EDL1 en $\lambda'$. On résoud et on en déduit la forme de $\lambda(t)$.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]L'ensemble des solutions de $(H): a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = 0$ est un ... ?[/latex]
A: [latex]L'ensemble des solutions de $(H): a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = 0$ est un \textbf{sous-espace vectoriel de dimension 2}. On veillera donc bien à la dimension de l'ensemble des solutions que l'on donne pour être sûr qu'on en donne assez.[/latex]

Q: [latex]Donner la méthode de résolution d'une équation différentielle à l'aide des développements en série entière.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item On suppose qu'il existe une solution développable en série entière de rayon de convergence $R > 0$.
\item On utilise le théorème de dérivation et on remplace dans $(E)$.
\item On détermine les coefficients.
\item On calcule $R$.
\item On essaie de reconnaitre la solution trouvée.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Expliquer comment on réalise un changement de variable sur une équation différentielle sur l'exemple de l'équation différentielle suivante:
$t^2y'' + 7ty' + 25y = 0$; $x = ln|t|$.
[/latex]
A: [latex]
Tout d'abord, on dit que:
$x = ln|t| \iff t = e^x$\\
Puis, on pose $z$ fonction dérivable définie sur le domaine souhaité et telle que:
$z(x) = y(t) = y(e^x)$\\
Alors: $y(t) = z(t) = z(ln(t))$, $y'(t) = z'(t) = \frac{z'(ln(t))}{t}$, $y''(t) = z''(t) = \frac{z''(ln(t))}{t^2} - \frac{z'(ln(t))}{t^2}$.\\
Ainsi, $y$ solution de $t^2y'' + 7ty' + 25y = 0$; $x = ln|t| \iff z''(ln(t)) + 6z'(ln(t)) + 25z(ln(t)) = 0$
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il être attentif dans la formule des solutions d'une équation différentielle du second ordre homogène dans le cas $\Delta < 0$ ?[/latex]
A: [latex]
Pas de $-$ dans l'exponentielle:
$t \mapsto (\lambda cos(\beta t) + \mu sin(\beta t))e^{\alpha t}$
[/latex]