Title: PTE / Généralités / Généralités - Mathématiques

Q: [latex]Enoncer le théorème fondamental de l'analyse.[/latex]
A: [latex]
Si on a $F(x) = \int_a^x f(t)dt$, alors:
Si $f$ continue sur $I$, alors:
\begin{enumerate}
\item $F$ dérivable sur $I$ et sa dérivée est égale à $f$.
\item Soit $G$ primitive de $f$, alors $G - F = cste$.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Dérivation de la fonction réciproque + \textbf{condition d'application}.[/latex]
A: [latex]
Soit $f:I \to J$ bijection dérivable.
Alors $f^{-1}$ dérivable sur $J \iff f'$ ne s'annule pas sur $I$. Dans ce cas:
$(f^{-1})'(x)  = \frac{1}{f'\circ f^{-1}(x)}$
[/latex]

Déterminer une expression explicite de la suite définie par:
U_0=1 et U_n+1=3*U_n + 2

[latex]Définir la notion de prolongement par continuité.[/latex]

[latex]Donner le théorème de la formule de taylor avec reste intégral au point a à l'ordre n.[/latex]

Q: Donner la proposition de calcul du produit vectoriel (à deux vecteurs, trois dimensions) à partir des coordonnées en maths + moyen mnémotechnique.
A: Le premier est le lieu des x: on fait apparaître tout ce qui n'est pas x, i.e. y et z.
Le deuxième est le lieu de y: on fait apparaître tout ce qui n'est pas y, i.e. x et z (/!\ne pas oublier le -)
Le troisième est le lieu des z: on fait apparaître tout ce qui n'est pas z, i.e. x et y.

Q: Donner le théorème de la division euclidienne dans le cadre des polynômes.
A: [latex]Soient A et B deux polynômes tel que $B \neq 0$. Alors $\exists ! (Q,R)$,
$\left\{
\begin{array}{ll}
A = BQ + R \\
deg(R) < deg(Q)
\end{array}\right.$
[/latex]

Q: Enoncer les résultats de croissance comparées.
A: [latex]\begin{itemize}
\item $xln(x) \mathop{\longrightarrow}\limits_{x\to 0} 0$
\item $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$
\end{itemize}
On peut prolonger ces croissances comparées à l'étude avec des limites:
\begin{itemize}
\item $x^n ln(x) \mathop{\longrightarrow}\limits_{x\to 0} 0$
\item $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{ln(x)}{x^n} = 0$
\end{itemize}[/latex]

Q: [latex]Compléter:\\
$cos(\frac{\pi}{2} + x) = ...$\\
$sin(\frac{\pi}{2} + x) = ...$\\
$cos(\frac{\pi}{2} - x) = ...$\\
$sin(\frac{\pi}{2} - x) = ...$\\
[/latex]
A: [latex]
$cos(\frac{\pi}{2} + x) = -sin(x)$\\
$sin(\frac{\pi}{2} + x) = cos(x)$\\
$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$\\
$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$\\
[/latex]

Q: [latex]Donner une méthode à laquelle on peut penser immédiatement (même si ça ne marchera pas forcément) lorsqu'on doit démontrer l'existence et l'unicité.[/latex]
A: [latex]Il faut tout de suite penser à introduire une fonction et à démontrer la bijectivité de celle-ci.[/latex]

Q: [latex]$cos(a+b)$
$cos(a - b)$
$sin(a+b)$
$cos(a-b)$
[/latex]
A: [latex]$cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)$
$cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)$
$sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)$
$cos(a-b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)$
[/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce que l'ordre d'un DL en physique et avec quoi faut-il faire attention de ne pas le confondre ?[/latex]
A: [latex]L'ordre d'un DL, c'est la plus grande puissance de la variable par rapport à laquelle onf fait le développement.
Ainsi, si en physique on fait le DL de $D\sqrt{1 + (\frac{X}{D})^2}$ à l'ordre 2, on obtient $ D + (1 + \frac{1}{2} (\frac{X}{D})^2) $: $D$ est bien à la puissance 2, mais dans la formule on est allé seulement jusqu'à $k = 1$.
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire de la comparaison des valeurs de $ln(t)$ avec les fonctions puissances ?[/latex]
A: [latex]
On a:
$\forall t \in \mathbb{R}^+, ln(t) < t^{\frac{1}{2}}$
De plus:
Toutes les puissances $t^\frac{1}{n}$ finissent par dépasser $ln(t)$ dans des très grandes valeurs de $t$.
\textbf{AUSSI}, et c'est plus répandu,
$ln(x) < x^{1/n}$ apcr, car $\frac{ln(x)}{x^{1/n}} \to 0$ en $+\infty$.
[/latex]

Q: [latex]Quel lien existe-t-il entre $ch$ et $sh$ ?[/latex]
A: [latex]
$ch^2(t) - sh^2(t) = 1$, attention à ne pas échanger le rôle de $ch$ et de $sh$.
[/latex]

Q: [latex]À quoi fait-on référence par le théorème des accroissements finis ?[/latex]
A: [latex]On fait toujours référence à l'égalité des accroissements finis, i.e. si on nous demande d'utiliser ou de démontrer le théorème des accroissements finis, c'est l'égalité qu'il faut donner.[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il toujours penser dès que l'on obtient un $ln$ en intégrant ?[/latex]
A: [latex]
Il faut toujours penser à bien mettre la valeur absolue !
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il bien penser avant de chercher une solution particulière d'une équation différentielle dont le second membre est une exponentielle ?[/latex]
A: [latex]
Toujours bien penser à regarder si le contenu de l'exponentielle devant le $x$ est solution ou non de l'équation homogène associée à l'EDL2.
En effet, la forme de la solution particulière va dépendre de cela.
[/latex]

Q: [latex]Comment détermine-t-on proprement la valeur d'une somme/série télescopique ?[/latex]
A: [latex]
On écrit la somme sous la forme: $\mathop\sum\limits_{k = p}^q a_{k+1} - a_k = a_{q+1} - a_p$
[/latex]

Q: [latex]Donner le domaine de définition de $tan$[/latex]
A: [latex]$tan$ est définie sur $D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$, qui est la réunion des intervalles $I_k = ]-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi [$.[/latex]

Q: [latex]Quelle est la condition d'existence d'une bijection réciproque ?[/latex]
A: [latex]
À partir du moment où la fonction est bijective, aucune.
[/latex]

Q: [latex]Que vaut $arctan'(x)$ ?[/latex]
A: [latex]
$arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}$
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire de la monotonie d'une bijection réciproque ?[/latex]
A: [latex]
Soit $f$ bijective sur $I$.
Si $f$ monotone sur $J$, $f^{-1}$ monotone de même monotonie que $f$ sur $J$.
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire du tracé de la bijection réciproque d'une fonction ? Quelles sont les conditions d'application ?[/latex]
A: [latex]
Le tracé de la bijection réciproque d'une fonction se déduit du tracé de la fonction par symétrie par rapport à la première bissectrice $(y = x)$.
Conditions: aucune mis à part l'existence d'une bijection réciproque i.e. $f$ bijective.
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de récurrence forte.[/latex]
A: [latex]La récurrence forte permet de démontrer des propriétés dont la véracité à un rang donné dépend de la véracité à tous les rangs précédents.
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire sur la composition d'équivalent ? Donner la règle.[/latex]
A: [latex]
On ne peut \underline{JAMAIS} faire de composition d'équivalent.
En revanche, on peut tout-à-fait faire de la composition de développements limités !
Ainsi: On ne peut pas écrire: $u \sim v \Rightarrow e^u = e^v$
\underline{MAIS}, on peut écrire: $u = v + ... + o(v) \Rightarrow e^u = e^{v + ... + o(v)}$
[/latex]

Q: [latex]Quelle erreur de lecture d'énoncé fait-on régulièrement en lisant trop vite les questions à propos des suites/séries ?[/latex]
A: [latex]
Lorsqu'un énoncé dit "étudier la convergence de la série de terme général ...", il faut bien étudier une Série et non une Suite !
[/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce qu'une méthode courante pour calculer la dérivée d'une intégrale lorsque l'on n'a pas accès à sa valeur explicite ?[/latex]
A: [latex]
On peut utiliser le théorème fondamental du calcul intégral, en se ramenant à une intégrale qui nous arrange.
Exemple:
$F(x) = \int_x^{2x}e^{-u^2}du$ pas très calculable directement ni très dérivable directement.
On peut alors poser $H(x) = e^{-x^2}$, dire que $\int_x^{2x}e^{-u^2}du  = \int_0^{2x}e^{-u^2}du - \int_0^x e^{-u^2}du = H(2x) - H(x)$
Or, on connaît la valeur des $H'$ donc c'est cool :) !
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il bien penser À CHAQUE FOIS qu'on résoud une équation de la forme: $x^2 = a$ ?[/latex]
A: [latex]
Il faut TOUJOURS considérer deux solutions, quitte à en éliminer une si elle ne convient pas:
$x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$
[/latex]

Q: [latex]Que faut-il savoir sur la façon de remplir un tableau de variation ?[/latex]
A: [latex]
Il faut remplirs toutes les limites/extremums locaux.
Cependant, on peut mettre une lettre $\alpha$ ou $\beta$ ou autre là où on ne peut pas calculer explicitement la valeur de la fonction !! En effet, ce n'est pas toujours possible !! On indiquera alors juste que $\alpha = F(\sqrt{\frac{...}{...}})$ à côté du tableau par exemple.
[/latex]

Q: [latex]Comment démontre-t-on proprement la valeur d'un terme d'une suite de la forme, par exemple: $I_n = \frac{n(n-1)}{n^2+1}I_{n-2}$[/latex]
A: [latex]On cherche l'expression, tu te démerdes mais tu le trouves. Imaginons que tu fasses la conjecture:[/latex]
[latex]Tu fais une récurrence et tu la montres.
On peut toujours ensuite, ou même avant si on est sûr de pouvoir le démontrer, simplifier l'expression.
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il penser à chaque fois qu'on nous demande un résultat pour tout $n\in \mathbb{N}$ ?[/latex]
A: [latex]
À regarder si une récurrence peut aider. Ce ne sera pas toujours la façon la plus rapide, alors il ne faut pas focner tête baissée non plus, mais c'est parfois la meilleur piste et on n'y pense pas suffisamment.
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il faire attention lorsque l'on a une somme de la forme:
$\mathop{\sum}\limits_{k = a}^a f(k)$ ?
[/latex]
A: [latex]
On compte bien un terme (et non 0) !!! On fera la somme de $a$ à $a$, c'est à dire que cette somme sera égale à $f(a)$
[/latex]

Q: [latex]Que faut-il bien prendre en compte lorsque l'on nous demande de comparer deux objets mathématiques ?[/latex]
A: [latex]
Il faut bien comprendre que comparer peut aussi signifier "montrer l'égalité" ! Il faudra donc bien essayer de prendre cela en compte à l'avenir !
[/latex]

Q: [latex]On me demande de résoudre l'équation différentielle $(1 - x^2)y'(x)  - x y(x) = 1$.
Pour cela, je modifie l'équation différentielle homogène pour $y'(x)  - \frac{x}{1 - x^2} y(x) = 0$
Quelle erreur ne faut-il pas faire lorsque je vais faire la méthode de la variation de la constante ?
[/latex]
A: [latex]
Il faut bien faire attention: on doit injecter la solution dans la première équation telle qu'elle est donnée. Si on injecte dans $y'(x)  - \frac{x}{1 - x^2} y(x) = 1$, ce n'est pas la même équation, il faudrait dans ce cas injecter dans  $y'(x)  - \frac{x}{1 - x^2} y(x) = \frac{1}{1 - x^2}$ !
[/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce qu'il ne faut pas oublier de mentionner lorsque l'on doit montrer qu'une application est un produit scalaire ?[/latex]
A: [latex]
$\varphi$ est à valeurs dans $\mathbb{R}$
[/latex]

Q: [latex]Donner deux façon de calculer la matrice d'une symétrie.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item \underline{Si la symétrie est orthogonale} a matrice d'une symétrie ressemble à
$\left(\begin{matrix}
k1 & 0 & 0 & 0\\
0 & k1 & 0 & 0\\
0 & 0 & k1 & 0\\
0 & 0 & 0 & k1\\
\end{matrix}\right)$, avec $k = \pm 1$
lorsqu'elle est représentée dans une base de $\mathbb{R}^4$ par exemple, donc les vecteurs formes les bases de $\vec{F}$ et $\vec{F^\perp}$ tels que $E = F \oplus F^\perp$.
Ensuite, on utilise le changement de base.
\item Que la symétrie soit orthogonale ou non, on peut aussi utiliser une base orthonormale pour utiliser la formule de projection et utilise $S = 2P - I_3$.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce qu'il ne faut pas oublier de dire lorsqu'on utilise une équivalence pour montrer qu'une intégrale d'une fonction définie sur $[a,b[$ converge en $b \in \mathbb{R} \cup +\infty$ ?[/latex]
A: [latex]Soit $a \in \mathbb{R}, b \in \overline{\mathbb{R}}$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b[$ \textbf{et de signe constant} sur $[a,b[$.
Si $f \mathop{\sim}\limits_b g$, alors $\int_a^b f(t)dt$ et $\int_a^b g(t)dt$ sont de même nature.
[/latex]

Q: [latex]$\sqrt{x^2} =$ ? + erreur fréquente.[/latex]
A: [latex]$\sqrt{x^2} = |x|$
Attention à ne pas confondre avec $\sqrt{x}^2 = x$
[/latex]

Q: [latex]Combien vaut
$\left(\begin{matrix}n \\ 0 \end{matrix}\right)$ ?
[/latex]
A: [latex]1[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il faire attention lorsque je veux dériver: $\int_a^x sin(x-t)\phi(t)f(t)dt$ par rapport à x ?[/latex]
A: [latex]
Il faut effectivement dire qu'on a $\int_a^x sin(x-t)\phi(t)f(t)dt = F(x) - F(a)$.
Mais lorsque l'on dérive, ne pas insérer $F(a)$, qui est une constante par rapport à $x$ et qui ne doit donc pas apparaître dans la dérivée.
Cela peut paraître évident car on a détaillé le calcul, mais l'erreur est faite assez facilement si on n'écrit pas explicitement $\int_a^x sin(x-t)\phi(t)f(t)dt = F(x) - F(a)$ mais qu'on dérive en ayant simplement ça en tête.
[/latex]

Q: [latex]Comment montrer que $\int_a^xf(t)dt$ est $C^1$ ?[/latex]
A: [latex]
$x\in [a,b]$, $t\mapsto f(t)$ continue sur $[a,b]$. Donc $x \mapsto \int_a^xf(t)dt$ est $C^1([a,b])$.
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de sous-espaces supplémentaires.[/latex]
A: [latex]$F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si $E = F \oplus G$[/latex]

Q: [latex]Que faut-il savoir sur la valeur de $AA^T$ dans le cadre des matrices ?[/latex]
A: [latex]
\underline{Dans certains cas}, on peut dire que $AA^T = ||A||^2$ (cas des vecteurs lignes ou colonnes).
[/latex]

Q: [latex]Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires.[/latex]
A: [latex]
Pour toute application continure $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ et pour tout $u\in [a,b]$, $\exists c \in [a,b], f(c) = u$.
[/latex]

Q: Donner le nom de la formule qui permet de calculer la dérivée n-ième d’un produit + source d’erreur
A: Formule de Leibniz + attention ne pas oublier de mettre les coefficients binomiaux !

Q: [latex]Lister toutes les possibilités pour obtenir une inégalité.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Théorème des accroissements finis.
\item Poser une fonction $f(x) = g(x) - h(x)$, calculer la dérivée et espérer qu'on peut conclure sur le signe de $f$ sur l'intervalle qui nous arrange.
\item Dès qu'il y a un $n\in\mathbb{N}$ qui varie, essayer une récurrence.
\item Dès lors qu'il y a une inégalité avec une somme, en particulier, si cette somme est comprise entre deux valeurs qui ne sont pas des sommes comme: $ln(n+1) \leq \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} \leq ln(n) + 1$.
$\Rightarrow$ Comparaison d'une série à une intégrale.
\item Formule de Taylor-Lagrange
\item Binôme de Newton
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il être vigilent par rapport à un produit de matrices nul ?[/latex]
A: [latex]
Ce n'est pas comme pour les scalaires: Un produit de deux matrices peut-être nul sans qu'aucune des deux matrices ne soit nulle !
[/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce qu'une erreur courante lors du calcul de la dérivée d'une fonction comportant une intégrale ?[/latex]
A: [latex]
On ne peut pas appliquer $g(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)dt = F(a(x)) - F(b(x))$ et dériver $g$ dès lors que $f(x,t)$ dépend de $x$.
Cette propriété n'est vraie que si on a $g(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = F(a(x)) - F(b(x))$, sinon on n'aurait pas fait tout un chapitre sur les intégrales à paramètres MDR.
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'indépendance linéaire.[/latex]
A: [latex]
Si $(e_1, ..., e_n)$ forme une famille libre, on dit que ces vecteurs sont linéairement indépendants.
[/latex]

Q: [latex]Quelle moralité tiré-je de la question: "Expliciter $U_n$ où $U_n = \sum_{k = 0}^n ch(k)$ ?[/latex]
A: [latex]
Pas besoin d'avoir une suite convergente pour appliquer la formule de la série géométrique dès lors qu'on n'étudie pas en $n \to + \infty$.
Peut paraître évident, mais j'ai barré cette option à deux reprises dans des exercices par automatisme alors que ça n'a pas de raison d'être un automatisme dans ce cas de figure.
[/latex]

Q: [latex]Différencier la dérivée de $arcsin$ de celle de $arccos$.[/latex]
A: [latex]
$arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
[/latex]

Q: [latex]Quel est l'ensemble de définition de $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ ?[/latex]
A: [latex]
$\mathbb{R}$ et non $\mathbb{R}_+$ !
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut il faire attention avec les notations $\sqrt[3]{.}$ et $(.)^{\frac{1}{3}}$ ?[/latex]
A: [latex]
Il faut être vigilent au fait que pour des racines impaires, $\sqrt[3]{.}$ est définie sur $\mathbb{R}$ tandis que $(.)^{\frac{1}{3}}$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ !
[/latex]

Q: [latex]Comment s'appelle le théorème qui permet d'obtenir $\mathbb{E}(\phi(X))$ ?[/latex]
A: [latex]
Le théorème de transfert.
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de tangente hyperbolique.[/latex]
A: [latex]
$t \mapsto th(t) = t \mapsto \frac{sh(t)}{ch(t)}$
[/latex]

Q: [latex]Donner les dérivées de $sh$ et de $ch$.[/latex]
A: [latex]
$ch'(t) = sh(t)$
$sh'(t) = ch(t)$
[/latex]