Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Révisions et compléments d'algèbre linéaire

Q: La notion de sous-espace vectoriel est stable par...
A: [latex]...intersection ! En effet, soit $(F_i)_{i\in I}$ une famille de sous-espaces vectoriels de E. Alors, $\bigcap\limits_{i\in I} F_i$ est un sous-espace vectoriel de E.[/latex]

Q: Enoncer le théorème de caractérisation des supplémentaires.
A: [latex]$F$ et $G$ supplémentaires dans $E \iff F\cap G = \{O_E\}$ et $dim(F) + dim(G) = dim(E) \iff E = F+G$ et $dim(F) + dim(G) = dim(E)$ [/latex]

Q: Définir la notion d'équation linéaire. Donner la proposition qui permet de les résoudre.
A: [latex]Une équation linéaire est une équation du type: $f(x) = b$ où $f\in \mathcal{L}(E,F), b\in F$ et $x$ est l'inconnue.Le vecteur $b$ s'appelle second membre de l'équation.\\
L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée est $ker(f)$. Deux cas se présentent:\\
Cas 1: $b\notin Im(f)$: $\mathcal{S} = \oslash$\\
Cas 2: $b \in Im(f)$: $\exists x_0 \in E, f(x_0) = b, \mathcal{S} = \{x_0 + h, h \in ker(f)\}$[/latex]

Q: Donner la proposition permettant de relier la valeur du rang d'une fonction linéaire à son injectivite, surjectivité, bijectivité.
A: [latex]Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie et $f$ une application linéaire de $E$ vers $F$.
\begin{itemize}
\item $f$ injective $\iff rg(f) = dim(E)$
\item $f$ surjective $\iff rg(f) = dim(F)$
\item $f$ bijective $\iff rg(f) = dim(E) = dim(F)$
\end{itemize}[/latex]

Q: Définir ce qu'est un hyperplan et donner la proposition associée pour les identifier.
A: [latex]Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. On appelle hyperplan de $E$ tout sous-espace vectoriuel de $E$ admettant une droite vectorielle par supplémentaire.\\
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$. $H$ est un hyperplan de $E$ si et seulement si $dim(H)=n-1$.[/latex]

Q: [latex]Enoncer \underline{entièrement} le théorème de caractérisation des symétries.[/latex]
A: [latex]$s$ est une symétrie si et seulement si:
- $s \in \mathcal{L}(E)$
- $s \circ s = Id_E$
$\longrightarrow$ Dans ce cas, $s$ est la symétrie par rapport à $ker(s - Id_E)$.
[/latex]

Q: [latex]Donner une méthode qui permet de déterminer l'équation cartésienne de $Im(u)$ où $u$ est un projecteur.[/latex]
A: [latex]$u$ projecteur, donc $v = (x,y,z) \in Im(u) \iff u(v) = v$.
Résoudre.[/latex]