Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Coniques

Q: [Latex]Définir la notion de conique[/Latex]
A: [Latex]Soient un point $F$, une droite $D$ ne passant pas par $F$ et un réel $e>0$.
On appelle conique de foyer $F$, de directrice $D$ et d’excentricité $e$, l’ensemble $C$ des points $M$ du plan vérifiant : $MF = e d(M,D)$. [/Latex]

Q: [Latex]Donner l’équation générale d’une conique, et dire ce qu’on déduit de la valeur de l’excentricité.[/Latex]
A: [Latex] $M(x,y) \in \mathbb{C} \iff (x-d)^2 + y^2 = e^2x^2 \iff (1-e^2)x^2 - 2dx + y^2 = -d^2$.
On distingue 3 cas:
- $e=1$, c’est une parabole
- $0<e<1$, c’est une ellipse
- $e>1$, c’est une hyperbole
[/Latex]

Q: [latex]Dans quel repère l'équation générale d'une conique nous est-elle donnée ?[/latex]
A: [latex]$M(x,y) \in \mathbb{C} \iff (x-d)^2 + y^2 = e^2x^2 \iff (1-e^2)x^2 - 2dx + y^2 = -d^2$ est valable pour le repère $(K, \vec{i}, \vec{j})$ où $K$ est le projeté de $F$ le foyer sur $D$ la directrice de la conique.[/latex]

Q: [latex]Obtention de l'équation réduite + étude d'une parabole.[/latex]
A: [latex]
-On obtient l'équation réduite $Y^2 = 2pX$ en passant dans le repère $(S, \vec{i}, \vec{j})$ où $S$ est le point de coordonnées $(\frac{d}{2}, 0)$.
-$S$ est le sommet de la parabole.
-Une représentation paramétrique de $P$ est alors: $\left\{ \begin{matrix} x = \frac{t^2}{2p} \\ y = t \end{matrix}\right.$
[/latex]

Q: [latex]On considère une parabole d'équation $y^2 - 2px = 0$. Donner: Le repère dans lequel cette équation est établie, les coordonnées du foyer de la parabole, le paramètre de la parabole, l'équation de la directrice de la parabole, une représentation paramétrique de la parabole $P$.[/latex]
A: [latex]
L'équation  $y^2 - 2px = 0$ pour une parabole est une équation donnée dans la base $(S, \vec{i}, \vec{j})$ où $S$ est le sommet de la parabole.
Ainsi, le foyer de la parabole est situé en $(\frac{p}{2},0) = (\frac{d}{2}, 0)$.
Le paramètre de la parabole est $p$.
La directrice de la parabole est la droite d'équation $x = -\frac{p}{2} = -\frac{d}{2}$.
Une équation paramétrique de la parabole est $\left\{ \begin{matrix} x = \frac{t^2}{2p} \\ y = t \end{matrix} \right.$
[/latex]

Q: [latex]On considère une ellipse d'équation: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
Donner: le lieu où cette équation est valable, la condition pour que ce soit effectivement une ellipse, le foyer de l'ellipse, sa directrice, son excentricité, la signification de $a$ et de $b$.
[/latex]
A: [latex]
Cette équation est vabable dans le repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ où $O$ est le centre de l'ellipse.
La condition que doit respecter une telle équation est $a > b > 0$.
Le foyer de l'ellipse est le point $F$ tel que: $\vec{OF} = c\vec{i}$ où $c = \sqrt{a^2 - b^2}$.
Sa directrice est la droite $D : x = \frac{a^2}{c}$.
Son excentricité vaut: $e = \frac{c}{a}$
$a$ est la longueur du demi-grand axe et $b$ est la longueur du demi-petit axe de l'ellipse.
[/latex]

Q: [latex]Définir les axes caractéristiques d'une ellipse.[/latex]
A: [latex]
L'axe $(O, \vec{i})$ est appelé \underline{axe focal} de l'ellipse, ou grand axe de l'ellipse. C'est un axe de symétrie.
L'axe $(O, \vec{j})$ est appelé petit axe de l'ellipse. C'est un axe de symétrie.
[/latex]

Q: [latex]On considère une hyperbole d'équation: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
Donner: le lieu où cette équation est valable, son axe focal, la coordonnée de ses foyers, son excentricité, une équation de sa directrice.
[/latex]
A: [latex]
Soit l'hyperbole d'équation $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
Une telle équation est valable pour un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ où $O$ est un point particulier.
Son axe focal est $(OF) = (O, \vec{i})$.
Les foyers de l'hyperbole $F$ et $F'$ ont pour coordonnées $(c, 0)$ où $c = \sqrt{a^2 \pm b^2}$.
$e = \frac{c}{a}$
Sa directrice a pour équation $x = \frac{a^2}{c}$
[/latex]

Q: [latex]Définir les axes caractéristiques d'une hyperbole.[/latex]
A: [latex]
L'axe $(O,\vec{i})$ est appelé axe focal de l'hyperbole. C'est un axe de symétrie.
L'axe $(O, \vec{j})$ est aussi un axe de symétrie.
[/latex]

Q: [latex]$x > 0$ et $x^2 - y^2 = 1 \iff ...$[/latex]
A: [latex]$x > 0$ et $x^2 - y^2 = 1 \iff \exists t \in \mathbb{R}, x = ch(t)$ et $y = sh(t)$[/latex]

Q: [latex]Comment obtient-on le paramétrage d'une hyperbole ?[/latex]
A: [latex]$x > 0$ et $x^2 - y^2 = 1 \iff \exists t \in \mathbb{R}, x = ch(t)$ et $y = sh(t)$
Donc, en particulier, $M(x,y)$ vérifie $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \iff \exists t \in \mathbb{R}$ et $\epsilon \in \{-1, 1\}, x = a\epsilon ch(t), y = b\epsilon sh(t)$
Donc: $\left\{ \begin{matrix} x = a \epsilon ch(t) \\ y = b \epsilon sh(t) \end{matrix} \right.$, $t \in \mathbb{R}$ est un paramétrage de l'hyperbole.
[/latex]

Q: [latex]Définir ce qu'est un polynôme de degré 2 dans le cadre des fonctions à plusieurs variable.
Définir alors, dans le cadre d'une courbe paramétrée par $f(x,y) = 0$, où $f$ polynôme de degré 2: la partie quadratique de l'équation; la partie linéaire de l'équation; la matrice associée à la partie quadratique.
[/latex]
A: [latex]
Si dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$, $C$ admet une équation de la forme $f(x,y) =0$, où $f$ est un polynôme de degré 2,
i.e. $f(x,y) = ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey +k$ \underline{avec}: $(a,b,c) \neq (0,0,0)$
$ax^2 + 2bxy + cy^2$ est appelée partie quadratique de l'équation.
$2dx + 2ey$ est appelée partie linéaire de l'équation.
$A = \left(\begin{matrix} a & b \\ b & c \end{matrix}\right)$ est la matrice symétrique associée à la partie quadratique.
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire de la forme de l'équation d'une conique en fonction du déterminant de $A$ la matrice symétrique associée à la partie quadratique ?[/latex]
A: [latex]
Il existe un repère orthonormé du plan dans lequel la conique admet une équation de la forme:
\begin{itemize}
\item $\alpha X^2 + \beta Y^2 = K$ si $det(A) \neq 0$, $\alpha$ et $\beta$ étant les valeurs propres de $A$. L'origine du repère est alors centre de symétrie de la conique.
\item $X^2 = K$ ou $X^2 = KX$ si $det(A) = 0$.
\end{itemize}
[/latex]

Q: [latex]Donner la proposition de classification des coniques.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item $det(A) \neq 0$: \underline{Coniques à centres}
Il existe un repère dans lequel $(C): \alpha X^2 + \beta Y^2 = K$, avec $\alpha \neq 0$ et $\beta \neq 0$.
\begin{itemize}
\item \underline{Cas n°1}: $\alpha$ et $\beta$ sont de même signe, i.e. $det(A) > 0$: genre ellipse:
Une équation de la conique est alors de la forme: $A^2X^2 + B^2Y^2 = K$
Si $K < 0$, pas de solution
Si $K = 1$, solution = un point = centre du repère
Si $K > 1$, on peut la mettre sous la forme: $\frac{x^2}{a_1^2} + \frac{y^2}{a_2^2} = 1$
\item \underline{Cas n°2}: $\alpha$ et $\beta$ sont de signes différents, i.e. $det(A) < 0$: genre hyperbole:
Une équation de la conique est alors de la forme: $A^2X^2 - B^2Y^2 = K$, quitte à faire une rotation de $\frac{\pi}{2}$, avec $\alpha > 0$ et $\beta < 0$.
Si $K > 0$: l'équation se met sous la forme $\frac{x^2}{a_1^2} - \frac{y^2}{a_2^2} = 1$, c'est une hyperbole.
Si $K = 0$: c'est la réunion de deux droites.
\end{itemize}
\item $det(A) = 0$: \underline{Genre parabole}
Alors, il existe un repère orthonormé dans lequel une équation de la conique est $KY = X^2$ ou $X^2 = K$.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Enoncer la méthode d'étude d'une conique.[/latex]
A: [latex]
Pour étudier une conique $C: f(x,y) = ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + h = 0$
\begin{enumerate}
\item S'il n'y a pas de terme en $xy$, on réduit directement.
\item Sinon: On écrit la matrice $A$ et on détermine le genre de la conique à l'aide du déterminant.
\item Si $det(A) \neq 0$: calculer les coordonées du centre $\Omega$ à l'aide de $f$, et donner l'équation de la conique dans $(\Omega, \vec{i},\vec{j})$.
Puis terminer la réduction de $A$ pour connaitre les axes de la conique: ils sont dirigés pas les vecteurs propres associées aux valeurs propres non nulles.
De plus, $det(A) \neq 0 \Rightarrow$ l'équation réduite est alors de la forme $\alpha X^2 + \beta Y^2 + f(x_0, y_0) = 0$ où $\alpha$ et $\beta$ sont les valeurs propres et $x_0$ et $y_0$ les coordonnées du centre.
\item Si $det(A) = 0$, c'est une parabole. On effecture le changement de repère et on termine la rédution par formes canoniques.
\item Si $C$ est une hyperbole, on recherche les directions asymptotiques en factorisant la partie quadratique: les asymptotes ont cette direction et passent par leur centre.
\item Dans tous les cas, on déduit la nature, les éléments caractéristiques et le tracé.
\end{enumerate}
[/latex]

[latex]Donner la condition aux limites à l'interface entre deux solides en thermique.[/latex]

[latex]Définir le modèle de l'ailette.[/latex]

Q: [latex]Quel est le réflexe à avoir dès qu'on doit résoudre un problème concernant une ellipse ?[/latex]
A: [latex]
On passe toujours à la représentation paramétrise avec $cos$ et $sin$:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \iff
\left\{\begin{matrix}x(t) = acos(t) \\ y(t) = bsin(t) \end{matrix}\right.
$
[/latex]

Q: [latex]Enoncer le théorème qui nous donne l'équation de la conique dans le repère $(\Omega, \vec{i}, \vec{j})$ à partir des infos sur le centre et les valeurs propre de celle-ci.[/latex]
A: [latex]
Si $det(A) \neq 0$, l'équation réduite de la conique est:
$\alpha X^2 + \beta Y^2 + f(x_0, y_0) = 0$, où $\alpha$ et $\beta$ sont les valeurs propres et $(x_0, y_0)$ les coordonnées du centre.
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il être vigilant au niveau de l'équation d'une hyperbole ?[/latex]
A: [latex]
Lorsqu'on a une équation de la forme: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, il faut vraiment faire attention à ce qu'on ait $a>0$ et $b>0$.\\
Prenons l'exemple du DM6:
On avait $\frac{X^2}{\gamma} - \frac{Y^2}{(\frac{\gamma}{2})} = 1$.
Il fallait dont bien faire attention à ce que $\gamma$ soit positif: si $\gamma > 0$, on reste comme ça, sinon, si $\gamma < 0$, il s'agit non plus de l'hyperbole d'axe $\vec{i}$ mais de l'hyperbole d'axe $\vec{j}$.
[/latex]

Q: [latex]Avec quoi ne faut-il pas confondre une hyperbole ?[/latex]
A: [latex]
Attention à ne pas confondre l'équation de deux droites sécantes à celle d'une hyperbole !!!
Alors que la première est de la forme: $x^2 - y^2 = 0$, la seconde est de la forme $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
Toutefois, à savoir que dans les deux cas on aura $det(A) < 0$.
[/latex]

Q: [latex]Que déduire du fait que la matrice de la partie quadratique d'une conique a un déterminant $< 0$ ?[/latex]
A: [latex]
On ne dit pas qu'on a forcément une hyperbole: on a ou bien une hyperbole ou bien la réunion de deux droites sécantes.
[/latex]

Q: [latex]Comment obtenir le centre d'une parabole à partir de son équation réduite (en situation réelle) ?
\textit{On pourra partir de l'exemple: $x^2 + 2xy + y^2 - 2\sqrt{2}x + 6\sqrt{2}y + 6 = 0$ d'équation réduite $Y^2 - 4X + 2Y + 3 = 0$}
[/latex]
A: [latex]
Pour cela, il faut repartir de l'expression de base d'une parabole: $y^2 = ax$.
Il faut alors trouver un centre pour arriver à cette forme.
On se met facilement sous la forme: $(Y+1)^2 = 4(X - \frac{1}{2})$, et on conclut facilement que le centre est en $S(\frac{1}{2}, -1)$.
[/latex]

Q: [latex]Quelles sont les coordonnées des sommets d'une hyperbole ?[/latex]
A: [latex]
Les points $A(a,0)$ et $A'(-a,0)$ sont les sommets de l'hyperbole.
[/latex]