Title: PTE / Physique / Physique - Exemple de dispositif interférentiel par division d'amplitude: l'interféromètre de Michelson

Q: [latex]Définir la notion d'interféromètre compensé.[/latex]
A: [latex]Dans un interféromètre compensé l'ensemble \{Compensatrice, Séparatrice\} est considéré comme une lame semi-réfléchissante infiniment mince n'introduisant aucune différence de marche.
[/latex]

Q: [latex]Définir les deux configurations possibles de l'interféromètre de Michelson.[/latex]
A: [latex]Lorsque le miroir $\mathcal{M}_2$ et le miroir $\mathcal{M}_1'$ symétrique de $\mathcal{M}_1$ par rapport à la séparatrice sont parallèles et distants de $e$, \textbf{on dit que l'interféromètre est réglé en lame d'air.}
Lorsque le miroir $\mathcal{M}_2$ et le miroir $\mathcal{M}_1'$ symétrique de $\mathcal{M}_1$ par rapport à la séparatrice font un angle $\alpha << 1 rad$, \textbf{on dit que l'interferomètre est réglé en coin d'air.}
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire de la différence entre l'utilisation de l'interféromètre de Michelson avec une source ponctuelle ou une source étendue ?[/latex]
A: [latex]
- Si source ponctuelle: interférences non-localisées.
- Si source étendue: interférences localisées: à l'infini si lame d'air, sur le miroir $M_2$ en coin d'air.
[/latex]

Q: [latex]Quelle est la formule de la différence de marche pour l'interféromètre de Michelson en lame d'air ?[/latex]
A: [latex]
Soit $e$ l'épaisseur de la lame d'air, soit $i$ la direction d'observation:
$\delta(M) = 2ecos(i)$
[/latex]

Q: [latex]Formule pour la différence de marche dans une configuration de l'interféromètre de Michelson en coin d'air.[/latex]
A: [latex]$\delta (M) = 2 \alpha x$[/latex]

Q: [latex]Comment voit-on les interférences produites par une sources ponctuelles dans le cadre de l'interféromètre de Michelson.[/latex]
A: [latex]Source ponctuelle: les interférences sont non localisées. Il faut les recueillir sur un écran à l'aide d'une lentille convergente en sortie de l'interféromètre. [/latex]

Q: [latex]Donner quelques pistes de réflexions pour déterminer le rayon des franges successives en lames d'air pour Michelson.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Commencer par donner $p(0) = \frac{2e}{\lambda}$ l'ordre de la frange centrale.
\item Ensuite, on va pouvoir faire un DL sur $cos(i)$ et généraliser le résultat linéaire à tous les ordres: $p(i) = \frac{2ecos(i)}{\lambda} = \frac{2e}{\lambda} (1 - \frac{i^2}{2})$
\item Enfin, faire un peu de trigo et dire que $tan(i) \approx i = \frac{R}{f'}$.
\item \textbf{Astuce supplémentaire: pour avoir le rayon numéro $k$ et ne pas raisonner en ordre d'interférence, il suffit de poser $k = p(0) - p(i)$.}
Ainsi, $k$ correspond au numéro du rayon en partant du centre et on peut de plus dire que $\frac{k}{p(0)} = 1 - \frac{p(i)}{p(0)}$.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Un interféromètre de Michelson réglé en lame d'air est éclairé par une lampe à valeur de sodium composé de deux longueurs d'onde $\lambda_1$ et $\lambda_2$.
Comment établir l'expression de l'éclairement sur l'écran ?
[/latex]
A: [latex]
Attention ! Longueurs d'ondes différentes $\Rightarrow$ ondes non synchrones !!!
Donc pas d'interférences, donc pas de formule de Fresnel.
On a donc: $\epsilon (M) = \epsilon_1(M) + \epsilon_2(M)$.\\
\textbf{TOUTEFOIS}: attention, la formule de fresnel s'applique bien pour chaque rayon qui sont chacun issus de l'interférence entre deux rayons provenants de chaque bras du Michelson.
[/latex]

Q: [latex]Quel est l'écriture chimique du sodium et du mercure, éléments courants dans les lampes à vapeur du Michelson ?[/latex]
A: [latex]
Sodium: $Na$
Mercure: $Hg$
[/latex]

Q: [latex]Quand on étudie le Michelson éclairé par une lampe à vapeur de sodium, qu'elle est la particularité dans l'expression de l'éclairement ? Qu'elle est l'astuce pour s'en tirer ?[/latex]
A: [latex]
En calculant l'éclairement résultant de la superposition des deux ondes lumineuses de longueurs d'onde $\lambda_1$ et $\lambda_2$ au travers du Michelon, on va se retrouver avec:
$\epsilon(M) = \epsilon_1(M) + \epsilon_2(M)$
$= 4\epsilon_0 (1 + cos(\frac{2\pi \delta}{2} (\frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}))cos(\frac{2\pi \delta}{2} (\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2})))$
\textbf{Astuce pour s'en sortir}: Poser $\lambda_1 = \lambda_0 - \frac{\Delta\lambda}{2}$ et $\lambda_2 = \lambda_0 + \frac{\Delta\lambda}{2}$
On a alors: $\epsilon(M) = 4\epsilon_0 (1 + cos(\frac{4\pi \delta}{2\lambda_0})cos(\frac{2\pi \delta}{2}\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0^2})))$
[/latex]