Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Intégrales généralisées

Q: Définir la notion d'intégrale convergente dans le cas d'une intégrale généralisée en sa borne supérieure.
A: [latex]L'intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est dite convergente si la fonction $F:t\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $b^-$[/latex]

Q: Définir ce qu'est donner la nature d'une intégrale.
A: Dans le cadre des intégrales généralisées, donner la nature d'une intégrale, c'est dire si elle est convergente ou si elle est divergente.

Quelle est la méthode pour déterminer la nature d'une intégrale ?

Q: Donner les exemples fondamentaux pour les intégrales généralisées.
A: [latex]\textbf{Intégrales généralisées en 0:}
\begin{itemize}
\item \underline{Intégrales de Riemann}: $\int_0^1 \frac{1}{t^\alpha}dt$ converge si et seulement si $\alpha < 1$.
\item \underline{Logarithme népérien}: $\int_0^1ln(t)dt$ converge.
\end{itemize}
\textbf{Intégrales généralisées en $+\infty$:}
\begin{itemize}
\item \underline{Intégrales de Riemann}: $\int_0^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha}dt$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
\item \underline{Exponentielle}: $\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}dt$ converge si et seulement si $\alpha>0$.
\end{itemize}[/latex]

Q: Enoncer les théorèmes de majoration et de minoration en faisant bien attention à donner les conditions d'application (dans le cadre des intégrales).
A: [latex]
Soit $a\in \mathbb{R},b\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ et $f$ une fonction continue et positive sur $[a,b[$.\\
Alors, $\int_a^b f(t)dt$ converge $\iff x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ majorée.\\
\underline{De plus}, si l'intégrale converge, alors $\forall x \in [a,b[, \int_a^x f(t)dt \leq \int_a^b f(t)dt$\\
\underline{Aussi}, si $g$ positive sur $[a,b[$; $f\leq g$.\\
$\int_a^b g(t)dt$ converge $\Rightarrow \int_a^b f(t)dt$ converge\\
$\int_a^b f(t)dt$ diverge $\Rightarrow \int_a^b g(t)dt$ diverge[/latex]

Q: Enoncer le théorème de changement de variable dans le cadre des intégrales généralisées.
A: [latex]Soit $f$ une fonction continue sur $]a,b[$ et $\varphi : ]\alpha ,\beta[ \to ]a,b[$ de \textbf{classe} $\mathcal{C}^1$, \textbf{réalisant une bijection strictement croissante} de ]$\alpha ,\beta[$ vers $]a,b[$.\\
Alors, $\int_a^b f(t)dt$ et $\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\varphi'(u)du$ sont de même nature et égales en cas de convergence.\\
\underline{Aussi}, Soit $f$ une fonction continuer sur $]a,b[$ et $\varphi : ]\alpha ,\beta[ \to ]a,b[$ de \textbf{classe} $\mathcal{C}^1$, \textbf{réalisant une bijection strictement décroissante} de ]$\alpha ,\beta[$ vers $]a,b[$.\\
Alors, $\int_a^b f(t)dt$ et $\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\times -\varphi'(u)du$ sont de même nature et égales en cas de convergence.[/latex]

Q: Quelles sont les conditions d'application de l'intégration par parties pour les intégrales généralisées ?
A: [latex]$f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ \textbf{et telles que $fg$ admette une limite finie en $a$ et une limite finie en $b$}[/latex]

Q: Définir la notion d'intégrale absolument convergente et de fonction intégrable + propriété associée.
A: [latex]$\int_I f(t)dt$ absolument convergente $\iff \int_I |f(t)|dt$ convergente $\iff f$ intégrable.\\
\underline{Aussi}, $f$ intégrable $\Rightarrow \int_If(t)dt$ converge.[/latex]

Q: Enoncer les théorèmes de comparaison dans le cadre des intégrales généralisées.
A: [latex]Soient $a\in\mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}$, $a<b$ ou $b=+\infty$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b[$, si $g$ est intégrable sur $[a,b[$, alors:
\begin{itemize}
\item si $f(t) \mathop{=}\limits_{t\to b, t<b} O(g(t))$, alors $f$ intégrable en $b^-$ i.e. $f$ intégrable sur $[a,b[$ i.e. $\int_a^b |f(t)|dt$ converge.
\item si $f(t) \mathop{=}\limits_{t\to b, t<b} o(g(t))$, alors $f$ intégrable en $b^-$
\end{itemize}
Soient $a\in\mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}$, $a<b$ ou $a=-\infty$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $]a,b]$, si $g$ est intégrable sur $[a,b[$, alors:
\begin{itemize}
\item si $f(t) \mathop{=}\limits_{t\to b, t<b} O(g(t))$, alors $f$ intégrable en $a^+$
\item si $f(t) \mathop{=}\limits_{t\to b, t<b} o(g(t))$, alors $f$ intégrable en $a^+$
\end{itemize}[/latex]

Q: Enoncer la proposition sur l'équivalence dans le cadre des intégrales généralisées.
A: [latex]Soit $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b[$ \underline{et de signe constant sur $[a,b[$}.\\
Si $f\mathop{\sim}\limits_b g$, alors $\int_a^b f(t)dt$ et $\int_a^b g(t)dt$ sont de même nature.[/latex]

Q: [latex]Quelle confusion ai-je déjà faite à plusieurs reprise tout au long de l'année à propos de la convergence d'une intégrale généralisée en une borne finie ?[/latex]
A: [latex]
Il ne faut surtout pas dire $f$ diverge en $a$ donc l'intégrale diverge.
En effet, contre-exemple, intégrale de Riemann $\frac{1}{t^{1/2}}$ ne diverge pas, alors que la valeur de $\frac{1}{t^{1/2}}$ diverge en 0.[/latex]

Q: [latex]Quelles sont les hypothèses à vérifier pour qu'un changement de variable en soit un dans le cadre des intégrales généralisées ?[/latex]
A: [latex]Il faut que le changement de variable soit:
- une bijection
- strictement monotone
- de classe $C^1$
[/latex]

[latex]À l’aide d’un calcul de primitive, montrer la convergence de l'intégrale ci-dessous et préciser sa valeur :[/latex]