Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Applications Linéaires - PTSI

Enoncer le théorème du rang.

Donner la proposition permettant de montrer qu'une fonction est injective, dans le cadre des applications linéaires.

Définir ce qu'est une homotétie.

Définir ce qu'est un isomorphisme

Définir la notion de rang pour une fonction linéaire.

Q: Donner la proposition permettant de montrer la surjectivité d'une fonction dans le cadre des applications linéaires
A: Soit u une fonction linéaire qui va de E dans F.
Si Im(u) = F, Alors u est surjective.

Q: Donner le théorème de réduction de peine dans le cadre des applications linéaires, qui utilise deux |K espace vectoriel de dimensions finies égales.
A: Soient E et F deux |K espaces vectoriels,
On suppose que E et F sont de dimensions finies égales:
- f est un isomorphisme <=> f est injective <=> f est surjective
-(i.e.)  f est un isomorphisme de E dans F <=> ker(f) = 0 <=> Im(f) = F

Q: Definir ce que sont des espaces isomorphes.
A: Deux espaces sont dits isomorphe s'il existe au moins un isomorphisme entre eux.

Q: Donner la propriété à propos de l'image d'une base par un isomorphisme.
A: L'image d'une base par un isomorphisme est encore une base.

Q: Enoncer le théorème à propos de l'utilisation des espaces supplémentaires dans le cadre des applications linéaires.
A: Soient E et H deux |K-ev. Soient F et G deux sev supplémentaires, E = F⊕G.
Soit u_F une application linéaire qui va de F dans H. Soit u_G une application qui va de G dans H.
Alors, il existe une unique application linéaire u qui va de E dans H telle que: u_|F=u_F et u_|G=u_G.

Q: Citer les endomorphismes remarquables et leurs propositions associées lorsqu'il y en a.
A: Homothétie de rapport k: k.Id_E
Projection: Soit p un endomorphisme de E. Soit F et G deux sev supplémentaires dans E. On dit que p est a projection de E sur F parallèlement si,
p_|F=Id_F et p_|G=0
Pp associée: Soit E = F⊕G. Soit p_F la projection de E sur F parallèlement à G. Donc: ker(p) = G et Im(p) = F = ker(p_F-Id_E)
Pp associée 2: Soit E = F⊕G. Soit p la projection de E sur F parallèlement à G. Soit q la projection de E sur G parallèlement à F. ALors Id_E = p+q et poq=qop=0.
Théorème associé: Soit p un enfomorphisme de E. p est un projecteur de E sur Im(p) parallèlement à ker(p) <=> p o p = p
Symétrie: Soit E = F⊕G. Soit s un endomorphisme de E. On dit que s est une symétrie de E par rapport à F parallèlement à G si, s_|F=Id_F et s_|G=-Id_G
Théorème associé: Soit s un endomorphisme de E. s symétrie de E par rapport à ker(s-Id_E) parallèlement à ker(s+Id_E) <=> sos
 = Id_E

Q: Qu'est-ce qu'une méthode possible pour montrer qu'une application est un isomorphisme ?
A: Montrer que la fonction est une application linéaire.
Montrer que la fonction est bijective: si de même dimension, il suffit de le dire puis de montrer injectivité ou surjectivité.

Enoncer le théorème de la caractérisation des projecteurs.

Définir ce qu'est une projection de F parallèlement à G où F et G deux sous-espaces supplémentaires de E un K-ev

Définir ce qu'est une symétrie par rapport à F parallèlement à G où F et G deux sous-espaces supplémentaires de E un K-ev.

Enoncer le théorème de la caractérisation des symétries.

Donner la proposition sur la représentation matricielle d'une composée de fonctions.

Q: Définir la notion d'isomorphisme, d'endomorphisme, d'automorphisme.
A: [latex]Une application linéaire est est endomorphisme s'il va d'un espace dans un même espace: $f:E\longrightarrow E$\\
Une application linéaire est un isomorphisme si elle est bijective.\\
Une application linéaire est un automorphisme si elle est à la fois un isomorphisme et un endomorphisme.[/latex]