Title: PTE / Oraux / Démonstrations / Physique

Q: [latex]Donner les étapes de la démonstration du théorème de Bernoulli.[/latex]
A: [latex]
\begin{itemize}
\item Passer du système ouvert à un système fermé.
\textit{Schéma $\delta m_e$, $\delta m_s$ et $\Sigma_0$}
\item Montrer que $\delta_{m_e} = \delta_{m_s}$.
\item Réaliser un bilan d'énergie du système fermé.
\textit{Application du théorème de l'énergie cinétique}
\item Expliciter les termes.
\item Premier Bilan: à ce stade on obtient déjà la formule du bilan d'un système fermé déformable.
\item Application à un écoulement stationnaire homogène incompressible.
\item Dernier bilan, conclusion.
\end{itemize}
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Q: [latex]Comment introduit-on les signaux dans le cadre des démonstrations de la valeur de l'éclairement dans le cas de 2 (Fresnel) ou 3 signaux qui interfèrent ?[/latex]
A: [latex]
$\underline{s_1}(M,t) = S_{01}exp(j(wt-\frac{2\pi}{\lambda_0}(S_1M))$
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Q: [latex]Donner les étapes de la démonstration du premier principe industriel.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Introduire le système ouvert, en déduire un système fermé.
\item Démontrer $\delta_{m,e} = \delta_{m_s} = \delta_m$ en RS.
\item Appliquer le premier principe au système fermé.
\item Transformer $\delta W_p$ et $\delta W_{trans}$.
\textbf{Attention, la difficulté revient à bien prendre en compte que $v_s = v_{ds} \neq v_s$. D'une part, il y a une vitesse débitante, et d'autre part il y a un volume massique $v_s = \frac{1}{\mu}$ !}
\item Conclure.
\end{enumerate}
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Q: [latex]Donner la clé de voute pour la démonstration des valeurs de longueur à vide équivalente et de constante de raideur équivalente pour une association de ressorts \textbf{en parallèle}.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Appliquer d'une part le PFS pour avoir $l_{eq}$.
\item Appliquer d'autre part le PFD pour avoir $k_{eq}$.
\item Bien faire dans cet ordre car on récupère une information du PFS dans le PFD pour pouvoir conclure.
\end{enumerate}
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Q: [latex]Donner la clé de voute pour la démonstration des valeurs de longueur à vide équivalente et de constante de raideur équivalente pour une association de ressorts \textbf{en série}.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Isoler $M$ le point associé à la masse.
\item On a $l_2 = l_M - l_N$.
\item Lui appliquer PFD et PFS (en distinguant bien $l$ et $l_e$)
\item Sommer les deux équations $(I) = (1) + (1')$.
\item Isoler le point $N$, sans masse.
\item Lui appliquer PFD et PFS et en déduire les valeurs de $l_{Ne}$ et de $l_N$.
\item Conclure.
\item Appliquer d'autre part le PFD pour avoir $k_{eq}$.
\item Bien faire dans cet ordre car on récupère une information du PFS dans le PFD pour pouvoir conclure.
\end{enumerate}
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Q: [latex]Donner les clés de voute pour démontrer la relation entre la dérivée de la pression, la masse volumique et le champ de pression.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Bilan des forces extérieures: il faut redémontrer $\vec{F}_{pressante} = -\overrightarrow{grad}(P)$.
\item \textbf{Les expressions finales du bilan des forces sont des forces volumiques.}
\item Pour cela, isoler un volume mésoscopique cubique de côtés $dx$, $dy$ et $dz$. On s'intéressera à la pression sur chacune des surfaces.
\item Etudier seulement deux surfaces en vis-à-vis, généraliser le résultat au reste. Sommer les expressions, conclure sur le fait que $\vec{dF} = -\overrightarrow{grad}P d\tau$.
\item Donc $\vec{F}_{pressante} = -\overrightarrow{grad}P$. Conclure par principe d'inertie.
\end{enumerate}
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Q: [latex]Démontration: établir l'équation locale de la conservation de la charge. Donner les clés de voute.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Introduire un volume mésoscopique délimité par une surface $(S)$ fermée.
\item $Q$ grandeur conservative: $Q_{creee} = 0$.
\item Traduire l'ensemble des échanges avec l'extérieur par un unique courant $i_{sortant}$.
\item $Q(t) = \iiint \rho d\tau$ + utiliser $i = \iint j dS$ + green-ostrogradski.
\end{enumerate}
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Q: [latex]Donner les clés de voute pour la démonstration "de la grandeur caractéristique d'atténuation de l'onde électromagnétique dans un milieu ohmique".[/latex]
A: [latex]
\underline{Clés de voutes}:
\begin{enumerate}
\item Contexte: $\vec{E}(z,t) = E_0 cos(wt-kz)\vec{e_x}$ incidente sur un conducteur. On veut obtenir l'expression de $\underline{\vec{E_t}}$ et fonction de l'épaisseur de peau.
\item Utiliser $\vec{\Delta}\vec{E} - \gamma \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{0}$ (1).
\item À savoir absolument: on admet que l'onde transmise est à la même pulsation et se propage selon la même direction, c'est tout.
\item Résoudre (1).
\item Travailler en complexe, remplacer $-i$ par $e^{-i\frac{\pi}{2}}$ pour obtenir l'expression de $\underline{\vec{k_t}}$.
\item Identifier $\delta$ l'épaisseur de peau.
\item Injecter l'expression de $\underline{\vec{k_t}}$ dans celle de $\underline{\vec{E_t}}$, séparer les deux exponentielles, conclure.
\end{enumerate}
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Q: [latex]Quelles différences de marche considère-t-on pour les démonstrations de la valeur de l'éclairement dans le cas de 3 signaux qui interfèrent ?[/latex]
A: [latex]
On ne considère par les $(SM)_i$ mais les $(F_iM)$, où les $F_i$ sont les lieux des fentes d'Young.
Cela permet d'éviter de prendre en compte la différence de marche qui existe entre le rayon qui passe par le centre de la lentille $(L_1)$ et les autres.
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Q: [latex]Démonstration de la formule du minimum de déviation pour un réseau par transmission: énoncé + clés de voutes.[/latex]
A: [latex]
\underline{Enoncé} :
Le minimum de déviation pour un ordre $p$ donné est tel que: $2sin(\frac{D_{m,p}}{2}) = p \frac{\lambda}{a}$\\
\underline{Clés de voute}:
\begin{enumerate}
\item Savoir énoncer la définition de la déviation: $D_p = \theta_p - \theta_0$.
\item Au minimum de de déviation: $(\frac{d D_p}{d\theta_0})_{D_{m,p}} = 0$.
\item Or: $\frac{d D_p}{d\theta_0} = \frac{d}{d\theta_0} (\theta_p - \theta_0) = \frac{d\theta_p}{\theta_0} - 1$.
\item Donc: $(\frac{d D_p}{d\theta_0})_{D_{m,p}} = 0 \iff \frac{d\theta_p}{\theta_0} = 1$.
\item or: $\frac{d}{d\theta_0} ((sin(\theta_p) - sin(\theta_0))) = 0$ (formule des réseaux)
$\iff cos(\theta_p) \frac{d\theta_p}{\theta_0} - cos(\theta_0 ) = 0$.
\item Conclure: ou bien $\theta_{m,p} = +\theta_0$, (pas intéressant) ou bien $\theta_{m,p} = -\theta_0$
\end{enumerate}
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Q: [latex]Quelle erreurs sont à ne pas faire quand on transforme $\delta W_{pression}$ en $\delta W_{trans}$ ?[/latex]
A: [latex]
Il ne faut pas:
\begin{enumerate}
\item Traiter $\delta W_{pression}$ comme une force mais bien appliquer: $\delta W_{pression} = \vec{F}.\vec{v}.dt$.
\item Il ne faut pas confondre les vitesses et les volumes massiques: $v = \frac{1}{\mu}$.
\end{enumerate}
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Q: [latex]Démonstration de l'expression de l'énergie potentielle d'une charge placée dans un champ électrostatique extérieur: clé de voute.[/latex]
A: [latex]
Astuce utile dans différents et non pas seulement dans cette démonstration:
Au lieu de calculer comme $-dE_p = \vec{F_e}.\vec{dl}$, ce qui est juste mais pas optimal, on calcule plutôt: $\vec{F_e} = -\vec{grad}(E_p)$
$\iff -q\vec{grad}(V) = -\vec{grad}(E_p) \iff qV = E_p$
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Q: [latex]Enoncer la méthode de démonstration de la conservation du produit gain/bande-passante pour le montage non-inverseur.[/latex]
A: [latex]
\underline{Clés de voutes}:
\begin{enumerate}
\item Ne pas introduire l'ALI comme étant de gain infini, mais l'introduire comme étant de gain $A = \frac{H_0}{1 + j\frac{\omega}{\omega_0}}$.
\item Déterminer la fonction de transfert $\frac{V_s}{V_-}$. On fera bien attention au fait que puisque le gain n'est pas infini, on n'a pas $V_+ = V_-$.
\item Réaliser le schéma-bloc, puis appliquer la formule de la FTBF comme en SII.
\end{enumerate}
\textit{À noter que par "montage non-inverseur", on designe aussi bien le comparateur à hystérésis que l'amplificateur.}
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