Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Courbes et surfaces de l'espace

Q: [latex]Définir la notion d'arc paramétré et de courbe associée à l'arc.[/latex]
A: [latex]
On appelle arc paramétré de $\mathbb{R}^3$ la donnée d'une application $\gamma : I \mapsto \mathbb{R}^3$. On dit que l'arc est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ si $\gamma$ est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$.
On appelle courbe associée à l'arc, l'ensemble des points $M$ de $\mathbb{R}^3$ pour lesquels il existe une valeur de $t \in I$ telle que $\overrightarrow{OM(t)} = \gamma(t)$
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Q: [latex]Définir la notion de tangente à un arc paramétré.[/latex]
A: [latex]
Soit $\Gamma$ un arc paramétré par $\gamma$.
On a appelle tangente à $\Gamma$ en un point $M(t)$ la droite passant par $M(t)$ et dirigée par $\gamma^{(p)}(t)$ avec $p$ le plus petit entier non nul tel que $\gamma^{(k)}(t) \neq 0_{\mathbb{R}^3}$.
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Q: [latex]Définir la notion de point régulier/singulier dans le cadre des arc paramétrés.[/latex]
A: [latex]
Le point $M(t)$ est dit régulier si $\gamma'(t) \neq 0$, il est dit singulier dans le cas contraire.
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Q: [latex]Définir la notion de plan normal dans le cadre des arcs paramétrés.[/latex]
A: [latex]On appelle plan normal à l'arc $\Gamma$ au point $M(t)$ le plan passant par $M(t)$ et normal au vecteur $\frac{d\vec{M}}{dt}$[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de surface paramétrée.[/latex]
A: [latex]
Soit $f \in \mathcal{C}^1$ sur un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^2$. On appelle nappe paramétrée par $f$ ou surface paramétrée par $f$ l'ensemble des points de l'espace de coordonnées $f(u,v), (uv) \in U$.
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Q: [latex]Définir la notion de point régulier sur une surface paramétrée.[/latex]
A: [latex]
Soit $(S)$ une surface de représentation paramétrique $M(u,v) = f(u,v), f \in \mathcal{C}^1(U)$.
Le point $M(u,v)$ est dit régulier lorsque $\frac{\partial \vec{OM}}{\partial u}$ et $\frac{\partial \vec{OM}}{\partial v}$ ne sont pas colinéaires.
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Q: [latex]Définir la notion de courbe tracée sur une surface.[/latex]
A: [latex]On dit que la courbe de l'espace $\Gamma$ est tracée sur une surface $S$ si tout point de $\Gamma$ est un point de $S$.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de section plane d'une surface $S$.[/latex]
A: [latex]On appelle section plane de la surface $S$ l'intersection de $S$ et d'un plan, si elle est non vide.
Une section plane de $S$ est une courbe tracée sur $S$.
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Q: [latex]Définir les notions de normale et de plan tangent à une surface paramétrée de l'espace.[/latex]
A: [latex]
Soit $M(u,v)$ un point régulier d'une surface $(S)$.
On appelle normale à $S$ en $M$ la droite passant par $M$ et de direction $\vec{N}$.
On appelle plan tangent à $S$ en $M$ le plan passant par $M$ et perpendiculaire à $\vec{N}$ (ou plan passant par $M$ et dirigé par $\frac{\partial\vec{OM}}{\partial u}$ et $\frac{\partial\vec{OM}}{\partial v}$).
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Q: [latex]Que peut-on dire de la tangente en tout point $M$ de $\Gamma$ une courbe régulière tracée sur une surface régulière $S$.[/latex]
A: [latex]
Soit $\Gamma$ une courbe régulière tracée sur la surface régulière $S$.
Alors, la tangente en tout point $M$ de $\Gamma$ est contenue dans le plan tangent $S$ en $M$.
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Q: [latex]Définir les notions de surface définie par une équation cartésienne et de surface de niveau.[/latex]
A: [latex]
Une surface définie par une équation cartésienne est l'ensemble $(S)$ des points $M(x,y,z)$ de l'espace géométrique tel que $F(x,y,z) = 0$, avec $F:U \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, de classe $C^1$ sur $U$, ouvert de $\mathbb{R}^3$.
Les surfaces de niveaux de $F$ sont les surfaces dont l'équation cartésienne est $F(x,y,z) = k, k \in \mathbb{R}$.
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Q: [latex]Définir la notion de point régulier pour une surface paramétrée par une équation cartésienne.[/latex]
A: [latex]
Soit $F$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^3$ et $S$ la surface d'équation $F(x,y,z)$. Un point $M_0$ de $S$ est dit régulier si $grad F(x,y,z) \neq (0,0,0)$.
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Q: [latex]Enoncer le théorème permettant d'obtenir la normale à une surface paramétrée.[/latex]
A: [latex]
Soit $M_0$ un point de $(S)$ tel que $\vec{grad}F(M_0) \neq \vec{0}$.
Alors, la normale à $(S)$ en $M_0$ est dirigée par $\vec{grad}F(M_0)$
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Q: [latex]Enoncer le théorème permettant d'obtenir le plan tangent à une surface paramétré d'équation cartésienne $F(x,y,z)$.[/latex]
A: [latex]
Soit $(S)$ une surface d'équation cartésienne $F(x,y,z) = 0$. Le plan tangent en un point régulier $M_0 (x_0, y_0, z_0)$ de $(S)$ admet pour équation cartésienne $\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0, z_0)(x-x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0, z_0)(y-y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0) (z - z_0) = 0 $
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Q: [latex]Définir la notion de surface de révolution.[/latex]
A: [latex]Une surface $(S)$ est dite de révolution s'il existe une droite $\Delta$ telle que $(S)$ soit invariante par rotation autour de $\Delta$.[/latex]

Q: [latex]
Démontrer que tous les points de $x^2 + 4y^2 + z^2 = 4$ sont tous réguliers. (Quel est le point qui m'a posé soucis ?).
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A: [latex]
$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x} = 2x$
$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y} = 8y$
$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z} = 2z$
Donc, un seul point singulier \underline{potentiel}, et il faut bien comprendre qu'il est potentiel: $(0,0,0)$. Or, $(0,0,0) \notin (S)$. Donc: Aucun point régulier pour $(S)$.
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Q: [latex]Donner l'erreur courante sur le théorème permettant d'obtenir le plan tangent à une surface paramétré d'équation cartésienne $F(x,y,z)$.[/latex]
A: [latex]
Soit $(S)$ une surface d'équation cartésienne $F(x,y,z) = 0$. Le plan tangent en un point régulier $M_0 (x_0, y_0, z_0)$ de $(S)$ admet pour équation cartésienne $\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0, z_0)(x-x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0, z_0)(y-y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0) (z - z_0) = 0 $
\textbf{Il faut absolument appliquer les dérivées partielles avec les coordonnées du point $M$ et non juste avec des $x,y,z$ !!}
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Q: [latex]Qu'est-ce qu'une égalité supplémentaire qui peut aider à résoudre un problème dont l'objectif est d'obtenir l'équation différentielle d'une surface définie par la rotation d'une courbe autour d'une droite ?[/latex]
A: [latex]
À utiliser surtout quand on n'est pas dans des cas où on a une rotation autour d'un axe du repère:
Soit $M \in (S), M' \in C, A \in D$, où $A$ projeté de $M$ et de $M'$ sur $D$. Soit $O \in D$, alors on a par definition:
$\vec{OA}$ et $\vec{AM}$ orthogonaux.
$\vec{OA}$ et $\vec{AM'}$ orthogonaux.
Donc: $OA^2 + AM^2 = OM^2$ et $OA^2 + AM'^2 = OM'^2$
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Q: [latex]Donner toutes les façons d'obtenir les différents types de tangente.[/latex]
A: [Latex]
\underline{Tangentes}:
\begin{enumerate}
\item \underline{Cas d'une courbe paramétrée du plan}: La tangente en $M(t_0)$ est dirigée par $\vec{f^{(p)}(t_0)}$ premier vecteur dérivé non nul). Sa pente vaut $\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$ si $M(t_0)$ régulier.
\item \underline{Cas d'une courbe paramétrée dans l'espace}: On appelle tangente à $\Gamma$ arc paramétré par $\gamma:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ en un point $M(t)$ la droite passant par $M(t)$ et dirifée par le vecteur $\gamma^{(p)} (t)$ où $p = min\{k \geq 1, \gamma^{(p)}(t) \neq 0\}$.
\item \underline{Cas du plan tangent à une surface définie par une équation cartésienne}:
\textbf{Méthode 1}: Obtenir $\vec{n} = \overrightarrow{grad} F(M_0)$ vecteur normal. En déduire le plan tangeant: plan passant par $M$ de normale dirigée par $\vec{n}$
\textbf{Méthode 2}: Appliquer le théorème: L'équation cartésienne du plan est donnée par $\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0, z_0) (x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0, z_0) (y - y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0) (z - z_0) = 0$
\item \underline{Cas des courbes planes}: La tangente est dirigée par $f'(t)$.
\item \underline{Cas des courbes du plan définies par une équation cartésienne}: Soit $M(a,b)$ un point régulier de $C$. La tangente à la courbe $C$ en $M$ est dirigée par le vecteur de coordonnées $(- \frac{\partial f}{\partial y} (a,b), \frac{\partial f}{\partial x} (a,b))$.
\end{enumerate}
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Q: [latex]Que cherche-t-on à avoir dès que l'énoncé nous demande de donner une "représentation paramétrique" ?[/latex]
A: [latex]
Une acolade avec trois lignes pour chaque coordonnées du point dans l'espace (ou 2 dans le plan). On ne veut ni une ligne et une équation cartésienne, ni une seule équation cartésienne.
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Q: [latex]Définir la notion de surface de révolution.[/latex]
A: [latex]
Une surface $(S)$ est dite de révolution, s'il existe une droite $(\Delta)$ de $\mathbb{R}^3$ telle que l'intersection de $(S)$ avec tout plan orthogonal à $(\Delta )$ soit constitué de cercles centré sur $(\Delta )$.
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Q: [latex]Qu'est-ce qu'une façon de montrer qu'une surface définie par une équation cartésienne est une surface de révolution ? [/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Déterminer quel est l'axe de rotation.
\item Montrer que l'intersection de la surface avec n'importe quel plan orthogonal à cet axe est un cercle.
On pourra pour ce faire utiliser ce qu'on sait sur les rotations à partir du chapitre sur les isométries vectorielles pour obtenir la forme de $(x', y', z')$ coordonnées d'un point obtenu par rotation autour de l'axe.
\end{enumerate}
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