Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Isométries vectorielles d'un espace euclidien

Q: [latex]Définir la notion d'isométrie vectorielle.[/latex]
A: [latex]
Une application est une isométrie vectorielle si et seulement si:
- C'est un endomorphisme
- Elle conserve la norme, c'est-à-dire que: $\forall x \in E, ||f(x)|| = ||x||$
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Q: [latex]Donner la proposition de caractérisation des isométries vectorielles.[/latex]
A: [latex]
$f$ isométrie vectorielle
$\iff$ $f$ endomorphisme de $E$ qui conserve le produit scalaire
$\iff$ $f$ \underline{auto}morphisme de $E$ et l'image d'une base orthonormée de $E$ par $f$ est une base orthonormée de $E$.
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Q: [latex]Comment note-t-on l'ensemble des isométries vectorielles ? Comme nomme-t-on cet ensemble ?[/latex]
A: [latex]
On note $\mathcal{O}(E)$ l'ensemble des isométries vectorielles de $E$. On l'appelle groupe orthogonal de $E$.
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Q: [latex]Donner la propriété de stabilité des isométries vectorielles par composition.[/latex]
A: [latex]
Soient $f$ et $g \in \mathcal{O}(E)$.
Donc: $f \circ g \in \mathcal{O}(E)$.
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Q: [latex]Que peut-on dire de la bijection réciproque d'une isométrie vectorielle ?[/latex]
A: [latex]
Si $f \in \mathcal{O}(E)$ alors $f^{-1}$ est aussi une isométrie vectorielle.
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Q: [latex]
Que peut-on dire de la bijectivité d'une isométrie vectorielle ?
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A: [latex]
Une isométrie vectorielle est toujours un automorphisme (par définition, c'est un endomorphisme, puis cf proposition de caractérisation des isométries vectorielles).
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[latex]Définir les notions de symétrie orthogonale et de réflexion dans le cadre des isométries vectorielles.
Donner la formule associée à la notion de symétrie orthogonale.
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Q: [latex]
Donner la proposition sur les valeurs propres et les espaces propres d'une isométrie vectorielle.
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A: [latex]
Les valeurs propres réelles éventuelles d'une isométrie vectorielle sont 1 et -1.
De plus, les espaces propres associées aux valeurs propres éventuelles d'une isométrie vectorielle sont orthogonaux.
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Q: [latex]
Soit $F$ un sous espace vectoriel de $E$ stable par l'isométrie vectorielle $u$.
Que peut-on dire sur l'orthogonal de $F$ ? (deux choses)
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A: [latex]
Soit $u \in \mathcal{O}(E)$. Soit $F$ sev de $E$.
Supposons qu'il est stable par $u$.
Alors:
- $F^\perp$ l'est aussi.
- Les endomorphismes induits par $u$ sur $F$ et $F^\perp$ sont des isométries vectorielles.
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Q: [latex]
Que peut-on dire sur les symétries dans le cadre des isométries vectorielles ?
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A: [latex]
Toute symétrie orthogonale est une isométrie vectorielle.
Réciproquement, toute isométrie vectorielle qui est aussi une symétrie est une symétrie orthogonale.
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Q: [latex]Définir la notion de matrice orthogonale.[/latex]
A: [latex]
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
On dit que $M$ est orthogonale sur $M.M^T = M^T.M = I_n$.
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Q: [latex]Donner la proposition de caractérisation des matrices orthogonales.[/latex]
A: [latex]
$M \in \mathcal{O}(n)$
$\iff$ les vecteurs colonnes de $M$ forment une base orthonormée de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ muni de son produit scalaire canonique $(X,Y) = X^T Y$
$\iff$ les vecteurs lignes de $M$ forment une base orthonormée de $\mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R})$ muni du produit scalaire canonique.
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Q: [latex]À quoi faut-il faire attention à propos de la définition des matrices orthogonales ?[/latex]
A: [latex]
On dit que ce sont des matrices orthogonales, ce qui peut nous faire penser que les propositions associées vont faire appel à la notion de base orthogonales.
En réalité, il faut que les vecteurs lignes et colonnes forment des bases \underline{orthonormales}, ce qui est plus fort.
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Q: [latex]Soit $\mathcal{B}_0$ base orthonormale de $E$. Quelle proposition permet de savoir si $\mathcal{B}$ base de $E$ est orthonormale ?[/latex]
A: [latex]
Soit $\mathcal{B}_0$ base orthonormale de $E$.
$\mathcal{B}$ base de $E$ est orthonormale $\iff M_{\mathcal{B}_0}(\mathcal{B})$ est orthogonale.
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Q: [latex]
On a $\mathcal{B}$ base orthonormée de $E$.
Quelle proposition permet de montrer que $u$ est une isométrie vectorielle ?
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A: [latex]
Si:
- $\mathcal{B}$ base orthonormée de $E$.
- $u$ endomorphisme de $E$.
Alors:
$u$ isométrie vectorielle de $E$ $\iff$ $M_\mathcal{B} (u)$ est orthogonale.
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[latex]
Que peut-on dire du déterminant dans le cadre des isométries vectorielles ?
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Q: [latex]Définir les notions d'isométries positives et d'isométries négatives.[/latex]
A: [latex]
- Une isométrie vectorielle de déterminant 1 est appelée isométrie vectorielle positive
- Une isométrie vectorielle de déterminant -1 est appelée isométrie vectorielle négative.
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[latex]Définir la notion d'orientation d'un espace vectoriel $E$ et les notions de bases directes et indirectes.[/latex]

Q: [latex]Enoncer la proposition de caractérisation des symétries orthogonales \textbf{à partir de sa matrice} dans le cadre des isométries vectorielles.[/latex]
A: [latex]
On introduit $\mathcal{B}$ base \underline{orthonormale} de $E$.
Soit $S = M_\mathcal{B}(s)$.
Alors:
$s$ symétrie orthogonale $\iff S = S^T$ et $S^2 = I_n$
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[latex]
Donner la proposition de description de $\mathcal{O}(2)$.
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[latex]Définir la notion de matrice de rotation dans le plan.[/latex]

[latex]Donner la proposition sur une opération sur les matrices de rotation.[/latex]

Q: [latex]Donner la proposition qui permet d'associer à $u$ une isométrie vectorielle un unique réel qui permette de décrire sa matrice dans n'importe quelle base orthonormée directe de dimension 2. [/latex]
A: [latex]
Si $u$ isométrie vectorielle POSITIVE de $E$.
Alors: il existe un UNIQUE $\theta \in \mathbb{R}$, tel que dans TOUTE base ORTHONORMEE DIRECTE $\mathcal{B}$ on a:
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[latex]Quel ensemble est noté $\mathcal{SO}(2)$ ?[/latex]

[latex]Donner la proposition de caractérisation des endormorphismes qui sont des rotations.[/latex]

Q: [latex]
Que peut-on dire des isométries vectorielles dans le plan ?
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A: [latex]
Une isométrie vectorielle du plan est:
ou bien: une rotation. Son déterminant vaut alors 1.
ou bien: une réflexion. Son déterminant vaut alors: -1.
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Q: [latex]
Donner la méthode d'étude d'une matrice d'un endomorphisme carrée d'ordre 2.
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A: [latex]
Pour prouver que $M$ est orthogonale:
- Soit on calcule $M^T M$
- Soit on montre que ses colonnes sont orthogonales et de norme 1.\\\\
Ensuite, si $M$ effectivement orthogonale:
- Si $M^T = M$, $M$ symétrique: $M$ est la matrice d'une symétrie orthogonale, c'est soit $I_2$, soit $-I_2$, soit la matrice d'une réflexion.
Alors, reste à calculer $ker(M - I_2)$ pour avoir le sev par rapport auquel on fait la réflexion.
- Sinon, c'est une matrice de rotation: reste à identifier $\theta$.
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[latex]Dans le cadre des isométries vectorielles: [/latex]

Q: [latex]On se place dans le plan. On a le déterminant d'une isométrie vectorielle. Que peut-on en déduire ?[/latex]
A: [latex]
Si $det = 1$, c'est une rotation.
Si $det = -1$, c'est une réflexion.
$det =  \pm 1$.
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[latex]Quelle propriété permet de gagner beaucoup de temps pour changer de base quand les deux bases sont orthonormées ?[/latex]

Q: [latex]Enoncer la méthode d'étude d'une matrice d'une isométrie vectorielle en dimension 3.[/latex]
A: [latex]
L'étude débute toujours par vérifier que la matrice est bien orthogonale.
$||c_1|| = ||c_2|| = 1$
$(c_1|c_2) = 0$
$c_1\wedge c_2 = \pm c_3$\\\\
$\rightarrow$ Si toutes ces conditions sont réunies, on a bien une isométrie vectorielle. 4 cas se présentent alors:
$\Rightarrow$ Cas n°1: $M = M^T$ alors c'est une symétrie.
$\bullet$ Cas n°1.1: $M = M^T$ et $c_1\wedge c_2 = c_3$
On calcule alors $D = ker(M - I_3)$.
Si $dim(D) = 1$, c'est une symétrie d'axe $D$ (et on a $c_1\wedge c_2 =  +c_3$).
Si $dim(D) = 2$, c'est une réflexion de plan $D$ (et on a $c_1\wedge c_2 = - c_3$).
$\Rightarrow$ Cas n°2: $M \neq M^T$ alors c'est une rotation.
$\bullet$ Cas n°2.1: $c_1\wedge c_2 = c_3$ (i.e. $det(M) = 1$)
On calcule $D = ker(M - I_3)$. On choisit $k$ vecteur unitaire de $D$.
On calcule $Tr(M) = 1 + 2cos(\theta)$. On obtient alors le $cos$ de l'angle au signe près.
On choisit $x \notin Vect(k)$.
On obtient le signe de $\theta$ en disant que $\theta$ est du même signe de $det(x, f(x), k)$.
$\bullet$ Cas n°2.2: $c_1\wedge c_2 = -c_3$ (i.e. $det(M) = -1$)
On calcule $D = ker(M + I_3)$. On choisit $k$ vecteur unitaire de $D$.
On calcule $Tr(M) = -1 + 2cos(\theta)$. On obtient alors le $cos$ de l'angle au signe près.
On choisit $x \notin Vect(k)$.
On obtient le signe de $\theta$ en disant que $\theta$ est du même signe de $det(x, f(x), k)$.
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Q: [latex]Quelle matrice utilise-t-on pour faire une rotation autour de l'axe $(Oz)$ ?[/latex]
A: [latex], utile pour définir des surfaces de révolution.[/latex]

Q: [latex]Dans le cas d'une étude de la matrice d'une isométrie vectorielle, que se passe-t-il si on a $C_1 \wedge C_2 = -C_3$ et une matrice non symétrique ?[/latex]
A: [latex]
Il s'agit de la composition d'une rotation autour d'une droite $D$ et de la réflexion par rapport à $D^\perp$.
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Q: [latex]Expliquer comment on change de base la matrice d'un endomorphisme: donner surtout les erreurs courantes.[/latex]
A: [latex]
Si on a la matrice d'un endomorphisme dans la base $B'$.
On doit calculer la matrice de passage de $B'$ vers $B$.\\
On applique $M_B(B') = P_{B \to B'}$. ATTENTION A CETTE FORMULE\\
Ensuite on calcule $M_B(f) = P_{B' \to B}^{-1}M_{B'}(f)P_{B' \to B}$. ATTENTION, c'est l'inverse de ce qu'on a calculé plus tôt !! Il faut bien faire attention.
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Q: [latex]Qu'est-ce qu'il suffit d'avoir pour dire qu'une matrice est la matrice d'une rotation ?[/latex]
A: [latex]
Si quand on prend les colonnes, on a une BOND, c'est-à-dire:
$||C_1|| = ||C_2|| = 1$ et $C_1 \wedge C_2 = +C_3\; (\Rightarrow det(A) = 1)$
alors on peut directement dire que c'est une rotation.
En effet, une symétrie par rapport à un axe est une rotation particulière, et une symétrie par rapport à un plan (cas où $p=2$ i.e. $det(A) = -1$ i.e. $C_1 \wedge C_2 = -C_3$) n'est pas une symétrie.
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Q: [latex]Que peut-on dire d'une matrice symétrique réelle ? \textbf{+ Nom du théorème.}[/latex]
A: [latex].% Théorème spectral[/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce qu'un inverse pour un endormorphisme $u$ ?[/latex]
A: [latex]
Un endomorphisme $v$ tel que $u \circ v = Id$
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