Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Courbes paramétrées

Q: [latex]+ La trajectoire de la courbe est...[/latex]
A: [latex]
$\left\lbrace\begin{array}{ll}
I \to \mathbb{R}^2\\
t \mapsto f(t)
\end{array}\right.$\\
La trajectoire de la courbe est l'ensemble des coordonnées $f(t), t\in I$
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Q: [latex]Définir la notion de point multiple dans le cadre des courbes paramétrées.[/latex]
A: [latex]Soit $\mathcal{C}$ une courbe paramétrée par $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$. Un point $M(t)$ de $\mathcal{C}$ est un point multiple de $\mathcal{C}$ si:\\
$\exists t,t' \in I$, avec $t \neq t'$ tels que $M(t) = M(t')$
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Q: [latex]Donner les propriétés sur la réduction de l'intervalle d'étude par transformation du paramètre dans le cadre des courbes paramétrées.[/latex]
A: [latex]
On peut appliquer globalement 3 transformations au paramètre:
1- $t\to t+a$: étude sur un intervalle d'amplitude $a$.
2- $t \to b-t$: symétrie par rapport à $\frac{b}{2}$. On prend un domaine centré sur $\frac{b}{2}$ et on n'étudie que sur la moitié de ce domaine.
3- $t\to \frac{1}{t}$: étude sur $]0,1]$.
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Q: [latex]Que déduit-t-on sur la pente de la tangente qu'un point $M(t_0)$ d'une courbe paramétrée soit régulier ?[/latex]
A: [latex]Si $M(t_0)$ est régulier, alors la pente de la tangente est $\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$.
Si $x'(t_0) = 0$ et $y'(t_0) \neq 0$, la tangente est verticale.
Si $y'(t_0) = 0$ et $x'(t_0) \neq 0$, la tangente est horizontale.[/latex]

[latex]Donner le tableau des allures possibles d'une courbe paramétrée au voisinage d'un point et sa signification.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de normale à une courbe puis de point de rebroussement.[/latex]
A: [latex]La \textbf{normale} à une courbe en un point est la droite \textbf{passant par ce point et perpendiculaire à la tangente} en ce point.\\
Un \textbf{point de rebroussement} est un point d'une courbe à partir duquel les deux parties de la courbe sont situées du \textbf{même côté de la normale en ce point}.
Le rebroussement est de \textbf{première espèce} lorsque ces parties de la courbes sont situées \textbf{de part et d'autre de la tangente en ce point}.
Le rebroussement est de \textbf{deuxième espèce} si les deux parties de la courbe sont du \textbf{même côté de la tangente}.[/latex]

Donner les branches infinies dans le cadre des courbes paramétrées.

Q: [latex]Enoncer 3 transformations sur la paramètre pour réduire l'intervalle d'étude dans le cadre des courbes paramétrées.[/latex]
A: [latex]
\begin{itemize}
\item $t \to t + a$: translation de réel $a$ $\Rightarrow$ étude sur un intervalle d'amplitude $a$.
\item $t \to b - t$: symétrie par à $\frac{b}{2}$. $D_e = D\cap [\frac{b}{2}; +\infty [$ avec $D$ centré en $\frac{b}{2}$.
\item Autre possibiltié: $t \to \frac{1}{t}$ et $D = \mathbb{R}^*_+$: étude sur $]0,1]$.
\end{itemize}
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[latex]Donner l'équation de la tangente en un point régulier quelconque d'une courbe paramétrée.[/latex]

Q: [latex]Comment fait-on l'analyse d'un point singulier $\neq 0$ ?
On pourra prendre l'exemple de $x(t) = 2 cos(t) + cos(2t)$, où l'on veut faire l'analyse du point singulier $\frac{2\pi}{3}$.
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A: [latex]Par exemple, pour $x(t) = 2 cos(t) + cos(2t)$, si on veut faire l'analyse du point singulier $\frac{2\pi}{3}$:
On calcule $x(\frac{2\pi}{3} + h) = 2 cos(\frac{2\pi}{3} + h) + cos(2\frac{2\pi}{3} + h)$,
Reste à calculer le DL de $x(\frac{2\pi}{3} + h)$ pour $h$ avoisinant $0$.
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Q: [latex]On a une fonction $f(t)$ pour une courbe paramétrée, et on veut étudier son DL en $1$. Comment fait-on ?[/latex]
A: [latex]
On calcule $f(t+1)$ puis on fait le $DL$ en $t=0$.
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Q: Comment étudie t on une courbe paramétrée avec la réduction d’intervalle 1/t ?
A: On étudie sur [-1,0[ et sur ]0,1] et on complète par symétrie par rapport à la première bissectrice

Q: [latex]Définir la notion de point d'inflexion. Donner un moyen de les repérer.[/latex]
A: [latex]
Un point $M(t_0)$ est dit point d'inflexion de $C$ si la courbe traverse sa tangente au point $M(t_0)$.
Un exemple de repérage des points d'inflexions non singuliers peut être:
$f'(t) \neq 0$, $f''(t_0) = 0$, $(f'(t_0), f'''(t_0))$ libre
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Q: [latex]Comment tracer une coubre paramétrée quand on se rend compte qu'il existe un point où la courbe se rencontre ?[/latex]
A: [latex]
Faire une étude des points doubles pour regarder les coordonnées de cs points et avoir une information qui nous permet de tracer avec plus de précision.
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