Title: PTE / Physique / Physique - Electrostatique

Q: Enoncer la loi de Coulomb.
A: [latex]Dans le vide:\\
$\vec{F}_{q \rightarrow Q} = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0}\frac{\vec{PM}}{PM^3}$[/latex]

Q: Rappeler le déplacement élémentaire en coordonnées sphériques.
A: [latex]$d\vec{OM} = dr\vec{e_r} + rd\theta\vec{e_\theta} + rsin(\theta )d\varphi\vec{e_{\varphi}}$[/latex]

Q: Définir la notion de flux en physique.
A: [latex]Soit $\vec{A}$ un champ de vecteurs et $S$ une surface. On appelle flux du vecteur $\Vec{A}$ à travers la surface $S$ la grandeur $\phi$ telle que:
\begin{center}
\fbox{$\phi = \mathop{\int\int}\limits_{M\in S} \vec{A}(m)d\vec{S}$}
\end{center}[/latex]

Q: Enoncer le théorème de Gauss dans le cadre de l'électrostatique.
A: [latex]Le flux \textbf{sortant} du champ électrostatique $\vec{E}$ au travers d'une surface \textbf{fermée}, appelée surface de Gauss est relié à la charge contenue à l'intérieur de cette surface, notée $Q_{int}$:
\begin{center}
\fbox{$\mathop{\int\int}\limits_{M\in S} \vec{E}(M)d\vec{S} = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$}
\end{center}[/latex]

Q: Donner la méthode pour déterminer une formule pour le champ électrostatique à partir du théorème de Gauss.
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Choisir un repère d'étude.
\item Etudier les invariances et les symétries/anti-symétries pour déterminer les variables dont dépend le champ magnétique ainsi que sa direction.
\item Choisir une surface de Gauss pour que $\vec{E}.d\vec{S}$ soit facile à calculer ($\vec{E}$ parallèle ou perpendiculaire à $d\vec{S}$).
\item Calculer $\int\int \vec{E}.d\vec{S}$ le flux sortant.
\item Calculer $Q_{int}$
\item Conclure à l'aide du théorème de Gauss.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: Définir la notion de circulation d'un champ.
A: [latex]On appelle circulation d'un champ de vecteur $\vec{A}$ le long de la courbe $\widehat{AB}$ l'intégrale:
$$\mathcal{C} = \int\limits_{M\in \widehat{AB}} \vec{A}(M).d\vec{l}(m) $$ où $d\vec{l}$ est le vecteur élémentaire pris au point $M$ et tangeant à la courbe $\widehat{AB}$[/latex]

Q: Enoncer la propriété associée à la circulation du champ électrique.
A: [latex]La circulation du champ $\vec{E}$ le long de la courbe $AB$ ne dépend pas du chemin suivi pour aller du point $A$ au point $B$:\\
$\int_B^A \vec{E}.d\vec{l} = V(A) - V(B)$[/latex]

Q: Donner la formule de la capacité d'un condensateur plan (dans le cadre de l'electrostatique (!))
A: [latex]La capacité d'un condensateur plan pour lequel l'espace inter-armatures est du vide, la surface des armatures est $S$ et la distance entre les armatures est $e$ est donnée par la relation:\\
$C = \frac{\epsilon_0 S}{e}$[/latex]

Q: Enoncer l'équation locale de l'électrostatique.
A: [latex]$\vec{E} = -\vec{grad}V$[/latex]

Q: [latex]Donner la formule du champ gravitationnel.[/latex]
A: [latex]$\vec{F} = -G \frac{mM\vec{PM}}{||\vec{PM}||^3}$[/latex]

Q: [latex]Dans le cadre de l'électrostatique, donner la formule du champ électrique et du potentiel électrique.[/latex]
A: [latex]$\vec{E} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\vec{PM}}{||\vec{PM}||^3}$\\
$\vec{V} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\vec{PM}}{||\vec{PM}||^2}$[/latex]

Q: [latex]Donner la méthode et les choses à savoir pour calculer la capacité d'un condensateur plan.[/latex]
A: [latex]Pour calculer la capacité d'un condensateur plan:
\begin{itemize}
\item Il faut déjà savoir la définition de la capacité d'un condensateur:\\
On appelle capacité d'un condensateur la grandeur $C$ telle que: $Q = CU$ où $Q = \sigma S >0$ est la charge portée par l'armature positive et $U > 0$ est la tension entre les deux armatures du condensateur.
\item \underline{Donc}, On applique le théorème de Gauss à l'armature positive et on détermine le champ électrique produit par celle-ci.
\item \underline{Puis}, On utilise la propriété liant la circulation du champ électrique entre deux points de l'espace au potentiel électrique on calcule la différence de potentiels entre les deux armatures pour avoir $U$.
\item \underline{Enfin}, reste juste à appliquer la formule donnée au premier point.
\end{itemize}
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de ligne de champ électrostatique.[/latex]
A: [latex]Une ligne de champ électrostatique est une courbe en tout point tangente à $\vec{E}$, orientée dans le sens de $\vec{E}$.[/latex]

Q: [latex]Quelle propriété a-t-on sur les lignes de champs électrostatique ?[/latex]
A: [latex]
Le champ électrostatique est orthogonal aux surfaces équipotentielles.
Les lignes de champs sont orientés, elles partent d'une charge positive et rentrent dans une charge négative.
Les lignes de champ électrostatique se croisent aux lieux des charges ponctuelles ou aux points d'annulation du champ électrostatique.
Le champ électrique est d'autant plus intense là où les lignes de champ se resserrent.
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Q: [latex]Comment éviter de faire des erreurs en utilisant $\vec{E} = -\vec{grad}V$ la loi de l'électrostatique ?[/latex]
A: [latex]
- On écrit bien $\vec{dl} = ...$ en décomposant bien en vecteurs.
- On fait bien attention à projeter dans la bonne base sous l'intégrale.
[/latex]

[latex]Enoncer le théorème de Gauss gravitationnel.[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il faire attention quand on applique le théorème de Gauss pour obtenir \textbf{le potentiel électrostatique} en tout point de l'espace ?[/latex]
A: [latex]
Pour la plupars des distributions de charges il faut faire une disjonction de cas.
\underline{La constante d'intégration n'est pas la même sur les différentes expressions du potentiel selon les cas}.
[/latex]

Q: [latex]Que faut-il savoir sur le champ électrostatique et sur le potentiel électrostatique selon le type de distribution de charges ?[/latex]
A: [latex]
- \underline{Pour les distributions de charge volumique seulement} : Il y a continuité de $\vec{E}$ à l'interface.
\textbf{Pas pour les distribution de charges surfaciques !!!}\\
- \underline{Pour toutes les distributions de charge} : Il y a continuité en tout point de l'espace du potentiel $V(M)$. Il ne peut pas diverger, on utilisera souvent cela pour dire qu'il tend vers $0$ en $+\infty$ et obtenir les constantes d'intégration.
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Q: [latex]Tout sur $arctan$: domaine de définition et domaine d'arrivée, parité, monotonie, bijection, $arctan(x) + arctan(1/x)$, représentation graphique avec celle de tan.[/latex]
A: [latex]
- Attention pour $arctan(x) + arctan(1/x)$: Discontinuité en $0$, deux cas à envisager donc. On le démontrer en dérivant et en trouvant la dérivée nulle puis en prenant des valeurs qui nous arrangent.
- $Arctan$ est \underline{impaire}.
- \underline{St. croissante}
- Bijective comme fonction réciproque
- Domaine d'arrivée: $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$
- Représentation graphique :
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Q: [latex]Enoncer les équations de Poisson et de Laplace de l'électrostatique.[/latex]
A: [latex]
$\Delta V + \frac{\rho}{\epsilon_0} = 0$ (Poisson)
$\Delta V = 0$ en l'absence de charges. (Laplace)
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