Title: PTE / Physique / Physique - Propagation

Q: [latex]Donner la relation entre $\mu_0$, $\epsilon_0$ et $c$.[/latex]
A: [latex]$c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$[/latex]

Q: [latex]Donner la valeur de la célérité dans le vide.[/latex]
A: [latex]
$c = 3.10^8 m.s^{-1}$
[/latex]

Q: [latex]Donner la valeur de la permittivité du vide.[/latex]
A: [latex]$\mu_0 = 4\pi 10^{-7} \; H.m^{-1}$[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'onde plane dans le cadre du chapitre sur la propagation.[/latex]
A: [latex]Une onde plane est une onde dont la surface est un plan pour lequel le champ EM est uniforme à tout instant.
Ainsi, son modèle mathématique montre une amplitude contante à tout instant.
[/latex]

[latex]Donner la forme des solutions des équations de d'Alembert[/latex]

[latex]Donner les deux formes mathématiques pour modéliser une onde plane progressive harmonique.[/latex]

[latex]Définir la notion d'onde plane progressive.[/latex]

[latex]Enoncer la relation de dispersion pour une OPPH[/latex]

[latex]Définir la notion de vitesse de phase dans le cadre de la propagation.[/latex]

[latex]Que peut-on dire du vecteur d'onde, du champ magnétique et du champ électrique dans le cadre d'une OPPH ?[/latex]

Q: [latex]\underline{Pour une OPPH}, donner la valeur du vecteur de Poynting.[/latex]
A: [latex]\textit{Note}: Peut se retrouver à l'aide de la def du vecteur de Poynting et du fait que pour une OPPH: $B = \frac{E}{c}$ et que $u_m = \frac{B^2}{2\mu_0} = u_e$[/latex]

Q: [latex]Donner les relations de structure pour une OPP puis pour une OPPH.[/latex]
A: [latex]
\textbf{Pour une OPP ou une OPPH}, les relations suivantes sont vraies:
\begin{itemize}
\item En notation réelle: $\vec{B} = \frac{\vec{u}\wedge\vec{E}}{c}$
\item En notation complexe: $\underline{\vec{B}} = \frac{\vec{u}\wedge\underline{\vec{E}}}{c}$
\end{itemize}
\textbf{Pour une OPPH seulement}, les relations suivantes sont vraies:
\begin{itemize}
\item En notation réelle: $\vec{B} = \frac{\vec{k}\wedge\vec{E}}{w}$
\item En notation complexe: $\underline{\vec{B}} = \frac{\vec{k}\wedge\underline{\vec{E}}}{w}$
\end{itemize}
[/latex]

[latex]Pour effectuer le calcul de la valeur moyenne temporelle de l'énergie électromagnétique et du vecteur de Poynting, il faut se souvenir que...[/latex]

[latex]Donner les relations de structure \underline{pour une OPP}.[/latex]

[latex]Définir la notion de polarisation pour une onde plane progressive.[/latex]

[latex]Définir la notion d'OPP polarisée rectilignement.[/latex]

[latex]Définir ce qu'est un polariseur.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de milieu ohmique[/latex]
A: [latex]Un milieu ohmique est un milieu dont les charges peuvent se déplacer sous l'effet d'un champ électrique $\vec{E}$.
Il est caractérisé par sa loi d'ohm locale: $\vec{j} = \gamma \vec{E}$.
[/latex]

[latex]Que vaut la densité volumique de charges pour un conducteur ohmique en ARQS magnétique ?[/latex]

Q: [latex]Comment obtient-on $\vec{B}$ dans le cadre de la propagation ?[/latex]
A: [latex]
On obtient d'abord $\vec{E}$ puis on en déduit $\vec{B}$:
-Pour une OPP par $\vec{B} = \frac{\vec{u}\wedge \vec{E}}{c}$.
-Pour une OPPH par $\vec{B} = \frac{\vec{k}\wedge \vec{E}}{w} =\frac{\vec{u}\wedge \vec{E}}{c}$.
-Pour le reste par Maxwell-Faraday.
[/latex]

Q: [latex]Enoncer les équation de diffusion dans le cadre de la propagation dans un milieu ohmique.[/latex]
A: [latex]
$\Delta \vec{E} - \mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{0}$
$\Delta \vec{B} - \mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \vec{0}$
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'épaisseur de peau dans le cadre de la propagation dans un milieu ohmique.[/latex]
A: [latex]Attention, pas la même chose que l'effet de peau.[/latex]

[latex]Définir la notion d'effet de peau dans le cadre de la propagation dans un milieu ohmique.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de conducteur parfait.[/latex]
A: [latex]Un conducteur parfait est un conducteur de conductivité infinie.[/latex]

Q: [latex]Quelles égalités mathématiques caractérisent un conducteur parfait ?[/latex]
A: [latex]
DANS un conducteur parfait:
$\vec{E}(M,t) = \vec{0}$, $\vec{B}(M,t) = \vec{0}$, $\vec{j}(M,t) = \vec{0}$, $\rho (M,t) = 0$
CEPENDANT des charges et des courants peuvent exister en surface du conducteur.
[/latex]

Q: [latex]Que savons nous d'une onde réfléchie en incidence nulle sur un conducteur parfait ?[/latex]
A: [latex]
Dans l'espace vide de charge et de courant: une onde EM incidente sous incidence nulle est totalement réfléchie par un conducteur parfait.
De plus:
- Pas de changement de polarisation.
- Pas de changment de pulsation.
- Le vecteur d'onde a une norme inchangée mais son sens à opposé à celui de l'onde incidente.
- Un déphasage de $\pi$ est introduit pour le champ électrique.
- Une densité de courant surfacique apparait dans la même direction que l'état de polarisation de l'onde incidente dans le conducteur (se montre par les relations de passage).
- Aucune densité surfacique de charges n'apparait.
[/latex]

[latex]Définir la notion d'onde stationnaire.[/latex]

[latex]Définir, dans le cadre des ondes stationnaires, la notion de noeud et de ventre.[/latex]

[latex]Quelles sont les propriétés d'une onde stationnaire ?[/latex]

[latex]Quelles sont les propriétés énergétiques d'une onde stationnaire ?[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de mode propre dans le cadre du chapitre sur la propagation.[/latex]
A: [latex]\textit{NOTE: pas besoin d'apprendre les relations, juste comprendre ce qu'est un mode propre et pourquoi ça existe (si ça ne suffit pas, on réécrira la carte)}[/latex]

Q: [latex]Montrer comment on réalise un changement de variable en physique sur l'exemple de:
$\frac{\partial F(t - \frac{z}{c})}{\partial z}$ et $u = t - \frac{z}{c}$
[/latex]
A: [latex]
$\frac{\partial F(t - \frac{z}{c})}{\partial z} = \frac{\partial F(t - \frac{z}{c})}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{1}{c}\frac{\partial F(t - \frac{z}{c})}{\partial u}.$
[/latex]

Q: [latex]Comment justifie-t-on qu'une onde est monochromatique ?[/latex]
A: [latex]On dit qu'elle s'exprime en $cos$.[/latex]

Q: [latex]Qu'attend-t-on de nous si on nous demande de donner les équations de Maxwell associées à une OPPH en complexe?[/latex]
A: [latex]
On attend de nous qu'à partir d'une OPPH de la forme:
[/latex]
[latex]
On donne les équations de Maxwell en remplaçant les $div$ et les $rot$ par:
[/latex]
[latex]
(Attention, peut-être à redémontrer)
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire d'une onde $EM$ à une interface ?[/latex]
A: [latex]Il y a continuité \underline{des composantes tangentielles de $\vec{E}$} et des composantes normales de $\vec{B}$ à l'interface entre deux milieux.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de puissance rayonnée, sans utiliser l'opérateur $div$, qui ne nous permet pas de conclure autrement qu'un cartésien.[/latex]
A: [latex]$P_{ray} = \iint \vec{\Pi}.\vec{dS}$[/latex]

Q: [latex]Quelle erreur de faut-il pas faire sur la valeur de $\vec{k}$ en propagation ?[/latex]
A: [latex]
Non seulement $\vec{k}$ n'est pas un vecteur unitaire, mais en plus nous avons moultes façons de la calculer: $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c}$
[/latex]

Q: [latex]Quelle est le nom de $\vec{k}$ en propagation ?[/latex]
A: [latex]vecteur d'onde[/latex]

Q: [latex]À quoi fait-on référence lorsque l'on parle de densité d'énergie électromagnétique d'une onde ?[/latex]
A: [latex]$u_{em}$[/latex]

Q: [latex]Quel est l'autre nom des équations de propagation ?[/latex]
A: [latex]Les équations de d'Alembert.[/latex]

Q: [latex]Est-il long d'injecter $\vec{E}$ dans l'équation de d'Alembert pour démontrer la valeur de $k$ ?[/latex]
A: [latex]Non![/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce que la densité surfacique de courants ? Quelle est son unité ? Avec quoi je faut-il pas la confondre ? En donner une propriété.[/latex]
A: [latex]
- Lors de la réflexion d'une onde sur un métal, il y a apparition d'une densité surfacique de courants $\vec{j_s}$.
- $\vec{j_s}$ s'exprime en $A.m^{-1}$.
- Ne pas confondre $\vec{j_s}$ et $\vec{j}$.
- Elle apparaît dans le même sens que l'état de polarisation que l'onde incidente.
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire de $\vec{E}$ et de $\vec{B}$ dans un conducteur parfait ?[/latex]
A: [latex]
$\vec{E} = \vec{0}$ et $\vec{B} = \vec{0}$ au sein d'un conducteur parfait.
[/latex]

Q: [latex]Quand on veut appliquer les relations de passages, que peut-on dire de $\vec{E_1}$ l'onde électrique dans le milieu de l'onde incidente ?[/latex]
A: [latex]
Par théorème de superposition, $\vec{E_1} = \vec{E_i} + \vec{E_r}$ où $\vec{E_i}$ est l'onde incidente et $\vec{E_r}$ est l'onde réfléchie.
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il faire attention à propos de la validité des expressions déterminées à partir des relations de passage en propagation ?[/latex]
A: [latex]Les relations de passage ne sont valables que en $z = 0$ !! C'est-à-dire que dès que l'on sort du plan de séparation entre les deux milieux, ces relations de sont plus valables ![/latex]

Q: [latex]Pour déduire la valeur de l'onde $\vec{E_r}$ réfléchie dans tout le demi-espace de réflexion à partir de valeur à l'interface, que faut-il bien avoir en tête ? (x2)[/latex]
A: [latex]
Il faut bien avoir en tête que la relation de passage n'est valable qu'à l'interface. C'est à dire pour une valeur précise de $y$, souvent $y = 0$.
Ainsi, on va dire avec la relation de passage que $\vec{E_r} = -E_0cos(wt + ky)$, en $y = 0$ seulement !
Donc: $\vec{E_r} = -E_0cos(wt)$ en 0.
Ensuite, on va dire que la propagation de $\vec{E_r}$ se fait selon les $y$ opposé à celle de l'onde incidente: $\vec{k_r} = -\vec{k_i}$.\\
\underline{De plus}: La réflexion n'induit pas de changement de polarisation ! Cela va souvent impliquer de ne pas avoir d'expression en rapport avec $\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ pour la propagation au-delà de l'interface !
[/latex]

Q: [latex]Que suffit-il de dire pour dire que $\vec{k_r}$ = $-\vec{k_i}$ ?[/latex]
A: [latex]"L'onde réfléchie se propage selon $+\vec{u_y}$ et a la même structure que l'onde incidente (OPPH), donc: $\vec{k_r}$ = $-\vec{k_i}$"[/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce qu'une façon de montrer que $\sigma = 0$ à une interface ?[/latex]
A: [latex]
On peut dire que $div(\vec{E}) = 0$ si c'est le cas, ou bien relation de passage.
[/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce qui permet d'obtenir l'expression de la densité de courant surfacique ?[/latex]
A: [latex]
La relation de passage pour le champ magnétique $\vec{B_2} - \vec{B_1} = \mu_0 \vec{j_s}\wedge \vec{n_{12}}$
[/latex]

Q: [latex]Pourquoi peut-on dire que dans un conducteur parfait, $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont nuls ?[/latex]
A: [latex]
Parce que l'épaisseur de peau a pour expression $\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}}$ et qu'un conducteur parfait est caractérisé par $\gamma \to \infty$.
[/latex]

Q: [latex]Quel lien existe-t-il entre $log$ et $ln$ ?[/latex]
A: [latex]
$log(x) = \frac{ln(x)}{ln(10)}$
[/latex]

Q: [latex]Comment justifier que l'onde incidente et l'onde réfléchie ont la même pulsation et donc la même fréquence ?[/latex]
A: [latex]
Continuité des composantes tangentielles à la frontière.
[/latex]

Q: [latex]Quelle erreur ne faut-il pas faire sur la valeur de la densité surfacique de courants dans le cadre de la propagation ?[/latex]
A: [latex]
On ne peut pas dire que $\vec{E} = \vec{0} \Rightarrow \vec{j_s} = \vec{0}$. En effet, il y a discontinuité de la composante normale de $\vec{E}$ à l'interface.
$\vec{B}$ est capable de former cette densité surfacique de courants, et on peut donc en déduire sa valeur qui n'est pas nulle même pour un conducteur parfait.
[/latex]

Q: [latex]Comment montrer qu'une onde est plane à partir de son expression ?[/latex]
A: [latex]
Si la propagation se fait selon $\vec{e_x}$, l'onde est plane $\iff$ l'amplitude du champ électrique est invariante dans un plan où $x$ est constant, i.e. ne dépend pas d'autres variables que celle de la direction de propagation.
[/latex]

Q: [latex]Quelle grandeur caractérise la capacité à conduire le courant et quelle est son unité ?[/latex]
A: [latex]La conductivité $\gamma$ en $S.m^{-1}$[/latex]

Q: [latex]Que faut-il savoir lorsqu’on applique:[/latex]
[latex]?[/latex]
A: [latex]C’est bien une puissance que l’on calcule avec cette formule et non une puissance volumique.[/latex]

Q: [latex]Dès qu'on me pose une question en propagation qui insinue ou dit directement que l'onde doit respecter une certaine forme, que dois-je faire (réflexe à avoir obligatoirement) ?[/latex]
A: [latex]
- Démontrer la relation d'Alembert qui convient.
- Ensuite, ça dépend, il faut ou bien démontrer la relation de dispersion $k = \frac{w}{c}$; ou bien trouver une condition sur l'amplitude.
[/latex]

Q: [latex]
On considère une fibre optique modélisée par deux conducteurs parfaits placés aux abscisses $x=0$ et $x = a$.
Entre les plaques, se situe un vide où le champ électrique est: $\underline{\vec{E}} = f(x)exp(i(wt - kz))\vec{u_y}$\\
Déterminer $f(x)$ ainsi que la relation de dispersion.
[/latex]
A: [latex]
- Démontrer la formule d'Alembert pour $\vec{E}$.
- Résoudre l'équation: on aura d'une part une condition sur $f(x)$, d'autre part $k^2 = \frac{w^2}{c^2}$.
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire de la polarisation de TOUTE onde (EM).[/latex]
A: [latex]
Aussi bien pour les ondes électriques que magnétiques: \underline{Les ondes électromagnétiques sont des ondes transversales}.
C'est à dire que pour une propagation se $\vec{e_z}$, on n'aura que des composantes selon $\vec{e_x}$ et $\vec{e_y}$ pour $\vec{E}$ et $\vec{B}$.
[/latex]

Q: [latex]Comment établir $\Delta \vec{E} - \mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{dt} = \vec{0}$ ?[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item On fait comme pour démontrer l'équation d'Alembert
\item Deux différences: on n'est pas dans le vide: $\vec{j} \neq 0$, $\vec{j} = \gamma \vec{E}$.
De plus, \textbf{cette équation n'est valable que dans l'ARQS magnétique}, on a donc $\vec{rot} \vec{B} = \mu_0 \vec{j} \neq  \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{dt}$
\end{enumerate}
[/latex]