Title: PTE / Physique / Physique - Les équations de Maxwell et l'énergie électromagnétique

Q: [latex]Enoncer l'équation locale de la conservation de la charge.[/latex]
A: [latex]$div \vec{j} + \frac{\partial \rho (M,t)}{\partial t} = 0$\\
où: $\rho (M,t)$ est la densité volumique de charge en un point $M$ à l'instant $t$.[/latex]

Q: [latex]\underline{Etablir} l'équation locale de la conservation de la charge.[/latex]
A: [latex]Points importants de la démonstration:
\begin{enumerate}
\item On considère un volume $(V)$ quelconque.\\
Dans ce volume $(V)$, il y a une densité volumique de charge $\rho (M,t)$.
\item \underline{Or}, on sait que $Q(t) = \iiint_{M\in (V)} \rho(M,t).d\tau$.
\item \underline{Or}, on sait également qu'il n'y a jamais création de charge. Donc, une variation de charge dans le volume $(V)$ est obligatoirement dûe à un échange de charge avec l'extérieur.
\item \underline{Ainsi}, $i_{sortant} = \oint_{(S)} \vec{j}.d\vec{S} = \frac{\partial Q_m}{\partial t}$ \underline{où}: $\partial Q_m$ est la quantité de charges qui travers la surface $(S)$ de l'intérieur de $(V)$ vers l'extérieur.
\item \underline{Donc}: $\partial Q_m = -\partial Q_{ech}$, si on dit que $\partial Q_{ech}$ est la charge reçue.
\item \underline{Donc}: $i_{sortant} = -\frac{\partial Q_{ech}}{\partial t} = -\frac{dQ}{dt}$
\item \underline{Donc}: $\oint_{(S)} \vec{j}.d\vec{S} = -\frac{d}{dt}(\iiint_{(V)} \rho(M,t).d\tau) = -(\iiint_{(V)}\frac{d \rho(M,t)}{dt}.d\tau)$
\item  \underline{Par Green-Ostrogradski}: $\iiint div \vec{j}.d\tau = -(\iiint_{(V)}\frac{d \rho(M,t)}{dt}.d\tau)$
\item Enfin, $div \vec{j} + \frac{\partial \rho}{\rho t} = 0$
\end{enumerate}[/latex]

Q: [latex]Enoncer les équations de Maxwell.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item \textbf{Équation de Maxwell-Gauss (MG)}:\\
\fbox{$div \vec{E} (M,t) = \frac{\rho (M,t)}{\epsilon_0}$}\\
avec: $\epsilon_0 = \frac{1}{36\pi}10^{-9} \; F.m^{-1}$ la permittivité diélectrique du vide.
\item \textbf{Équation de Maxwell-Faraday (MF)}:\\
\fbox{$\vec{rot}\vec{E}(M,t) = -\frac{\partial \vec{B} (M,t)}{\partial t}$}
\item \textbf{Équation de Maxwell-flux (M$\varphi$)}:\\
\fbox{$div \vec{B} (M,t) = 0$}
\item \textbf{Équatien de Maxwell-Ampère (MA)}:\\
\fbox{$\vec{rot}\vec{B} (M,t) = \mu_0(\vec{j} + \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E} (M,t)}{\partial t})$}\\
avec: $\mu_0 = 4\pi 10^{-7} \; H.m^{-1}$ la perméabilité magnétique du vide.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Enoncer les équations de Maxwell \textbf{en version intégrale}.[/latex]
A: [latex]Aux équations locales sont associées les équations intégrales:\\
\begin{enumerate}
\item \textbf{Maxwell-Gauss}:\\
$\oint\limits_{(S)} \vec{E}.d\vec{S} = \frac{1}{\epsilon_0} \iiint\limits_{(V)} \rho (M,t)d\tau$.
\item \textbf{Maxwell-Faraday}:\\
$e = \oint\limits_{(\mathcal{C})} \vec{E}.d\vec{l} = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} \iint_{(S)} \vec{B}.d\vec{S}$.
\item \textbf{Maxwell-flux}:\\
$\oint_{(S)} \vec{B}.d\vec{S} = 0$
\item \textbf{Maxwell-Ampère}:\\
$\oint_{(\mathcal{C})} \vec{B}.d\vec{l} = \mu_0(\iint_{(S)}  \vec{j}.d\vec{S} + \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\iint_{(S)} \vec{E}.d\vec{S})$
\end{enumerate}
[/latex]

[latex]Simplifier les équations de Maxwell dans le cadre de l'ARQS.[/latex]

Q: [latex]Etablir les équations de Poisson et de Laplace de l'electrostatique.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item On se place \underline{en régime stationnaire}. Alors, $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont totalement découplés.
\item Nous avons besoin de montrer la relation: $div \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$: \\
On part du \underline{théorème de Gauss}: $\oint_{(S)} \vec{E}.d\vec{S} = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0} = \frac{\iiint_{(V)} \rho (M) d\tau}{\epsilon_0}$.\\
\underline{Donc, par Green-Ostrogradski}: $\oint_{(S)} \vec{E}.d\vec{S} = \iiint div\vec{E}.d\tau = \iiint_{(V)} \frac{\rho (M) d\tau}{\epsilon_0} \iff div \vec{E} = \frac{\rho (M)}{\epsilon_0}$
\item \underline{Or}, $div(\vec{grad} V) = \Delta V = div(- \vec{E}) = \frac{-\rho}{\epsilon_0}$
\item \underline{Donc}: \fbox{$\Delta V + \frac{\rho}{\epsilon_0} = 0$} \textbf{(équation de Poisson)}\\
\underline{et}: \textit{en l'absence de charges}, \fbox{$\Delta V = 0$} \textbf{(équation de Laplace)}
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Etablir le lien entre loi de Faraday et équation de Maxwell-Faraday.[/latex]
A: [latex]
En partant de la loi de Faraday: $e(t) = -\frac{d\phi}{dt}$. \\
On considère un circuit contenant $N$ spires. Alors, $\phi = N \iint_{(S)} \vec{B}.d\vec{S}$.
Donc, $e(t) = -\frac{d\phi}{dt} = -N \frac{d}{dt} \iint \vec{B}.d\vec{S} = -N \iint \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.d\vec{S}$
Or, \underline{on admet que}: $e(t) \mathop{=}\limits^{def} N \oint\limits_{(\mathcal{C}) spire} \vec{E}.d\vec{l} = N \iint \vec{rot}\vec{E}.d\vec{S}$ (par Stockes)\\
\underline{Donc}, \fbox{$\vec{rot}\vec{E} = \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$}
[/latex]

Q: [latex]Etablir les équations de propagation à partir des équations de Maxwell.[/latex]
A: [latex]
$\vec{rot}(\vec{rot} \vec{E}) = \vec{grad}(div\vec{E}) - \Delta \vec{E}$\\
$\vec{rot}(\frac{-\partial \vec{B}}{\partial t}) = \vec{grad} (0) - \Delta\vec{E}$ (MF)\\
$\frac{-\partial}{\partial t}(\vec{rot} \vec{B}) = -\Delta\vec{E}$ ("calcul")\\
$\frac{-\partial}{\partial t}(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial t^2}) = \vec{0}$ (MA)\\
\fbox{$\Delta\vec{E} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}$}\\
De même, \fbox{$\Delta\vec{B} - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = \vec{0}$}
[/latex]

Q: [latex]Quelle est la condition à respecter pour être dans le cadre de l'ARQS magnétique ?[/latex]
A: [latex]$l << \lambda$ où $l$ est la longueur du circuit et $\lambda = cT$ la longueur d'onde[/latex]

Q: [latex]Enoncer la méthode pour calculer le champ électromagnétique créé par $\vec{j}$.[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Calculer $\vec{B}$ par la théorème d'Ampère.
\item En déduire $\vec{E}$ par l'intermédiaire de Maxwell-Faraday.
\item Loi de conservation de la charge:
$\vec{rot}\vec{B} = \mu_0 \vec{j}$
$div(\vec{rot}\vec{B}) = \mu_0 div(\vec{j}) = 0$
\underline{Donc}, $div\vec{j} = 0$
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion  d'énergie électrique volumique.[/latex]
A: [latex]$U_{e} \mathop{=}\limits^{def} \frac{\epsilon_0}{2}E^2$[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'énergie magnétique volumique.[/latex]
A: [latex]$U_m \mathop{=}\limits^{def} \frac{1}{2\mu_0}B^2$[/latex]

[latex]Enoncer l'équation de Poynting. (définir ses constituants, également)[/latex]

[latex]Définir la notion de puissance rayonnée en physique.[/latex]

Q: [latex]Définir ce à quoi correspond l'ARQS magnétique.[/latex]
A: [latex]L'ARQS magnétique est un cadre d'étude du champ électromagnétique pour lequel on peut négliger le temps de propagation du champ électromagnétique vis-à-vis de la durée caractéristique des courants à l'origine de ce champ électromagnétique.[/latex]

[latex]Définir les notions de densité volumique de force électromagnétique et de puissance volumique associée.[/latex]

[latex]Enoncer la loi d'ohm locale (dans le cadre du chapitre sur les équations de Maxwell)[/latex]

Q: [latex]Enoncer la loi de l'électrostatique.[/latex]
A: [latex]$\vec{E} = -\vec{grad}(V)$[/latex]