Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Séries entières

Q: [latex]Enoncer le lemme d'Abel.[/latex]
A: [latex]Dans le cadre des séries entières:[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de série entière.[/latex]
A: [latex]On appelle \underline{série entière de la variable complexe $z$} toute série de terme général $a_nz^n$, où $(a_n)$ désigne une suite complexe.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de rayon de convergence en mathématiques.[/latex]
A: [latex]On appelle \underline{rayon de convergence} de la série entière $\sum a_nz^n$ l'élément $R$ de $[0, +\infty ]$ défini par $R = sup\{ r \geq 0, \sum a_n r^n$ converge $\} $[/latex]

[latex]Donner la proposition sur la convergence d'une série entière à partir du rayon de convergence.[/latex]

Q: [latex]Définir les notions de disque de convergence et d'intervalle de convergence.[/latex]
A: [latex]Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$.
On appelle \underline{disque (ouvert) de convergence} l'ensemble $D = \{z\in \mathbb{C}, |z| < R\}$.
On appelle \underline{intervalle ouvert de convergence} l'intervalle $]-R, R[$[/latex]

Q: [latex]Expliquer comment la règle de d'Alembert nous permet de déterminer le rayon de convergence pour les séries entières.[/latex]
A: [latex]On considère une série entière $\sum a_n z^n $.
On suppose dans ce cas que $\forall n \in \mathbb{N}, a_n \neq 0$.\\
-Si $z = 0$: la série converge.
-Si $z \neq 0$: On considère $u_n = |a_nz^n|$. Puisque $(u_n)$ est à termes $>0$, on peut applique le critère d'Alembert à $\sum u_n$.\\
On fini, assez facilement, au résultat: $R = \frac{1}{l}$.[/latex]

Q: [latex]Expliquer comment on peut déterminer le rayon de convergence d'une série entière à l'aide d'une majoration et d'une minoration.[/latex]
A: [latex]Pour déterminer le rayon de convergence de la série $\sum a_n z^z$, on peut encadrer $|a_n|$.
Si $0 \leq c_n \leq |a_n| \leq b_n$ et que $\sum c_nz^n$ et $\sum b_nz^n$ ont le même rayon de convergence $R$, alors $\sum a_n z^n$ a pour rayon de convergence $R$.[/latex]

Q: [latex]Donner la propriété sur l'utilisation d'un équivalent pour déterminer le rayon de convergence d'une série entière.[/latex]
A: [latex]Si $a_n  \mathop{\sim}\limits_{+\infty} b_n$, alors $\sum a_nz^n$ et $\sum b_nz^n$ ont le même rayon de convergence.[/latex]

Q: [latex]Donner la proposition faisant le lien entre somme de deux séries entières et rayon de convergence.[/latex]
A: [latex]Soient $\sum a_nz^n$ et $\sum b_n z^n$ deux séries entières de rayon de convergence respectifs $R_a$ et $R_b$.
Alors: $\sum (a_n + b_n)z^n = \sum a_nz^n + \sum b_n z^n$.
et $\sum (a_n + b_n)z^n$ admet pour rayon de convergence $R_{a+b} = min(R_a, R_b)$ si $R_a \neq R_b$, $R_{a+b} \geq R_a$ si $R_a = R_b$.
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Q: [latex]Donner la  propriété sur la comparaison de deux séries entières.[/latex]
A: [latex]Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ deux séries entières de rayon de convergence respectifs $R_a$ et $R_b$.\\
-si $|a_n| \leq b_n$, alors $R_a \geq R_b$ $(b_n \in \mathbb{R}_+)$
-si $a_n \mathop{=}\limits_{+\infty} O(b_n)$, alors $R_a \geq R_b$.
-si $a_n \mathop{\sim}\limits_{+\infty} b_n$, alors $R_a = R_b$.
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Q: [latex]Citer une série du cours alors le même rayon de convergence que $\sum a_nz^n$.[/latex]
A: [latex]Les séries entières $\sum a_nz^n$ et $\sum n a_nz^n$ ont le même rayon de convergence.[/latex]

Q: [latex]Définir le produit de Cauchy et la proposition associée \underline{Dans le cadre des séries entières}.[/latex]
A: [latex]Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ deux séries entières, on appelle produit de Cauchy de ces deux séries entières la série entière:
$\rightarrow$ $\sum c_n z^n$ où: $c_n = \sum\limits_{k=0}^n a_k b_{n-k}$\\
$\rightarrow$ Le rayon de convergence $R_{ab}$ du produit de Cauchy de ces deux séries vérifie: $R_{ab} \geq min(R_a, R_b)$.\\
$\rightarrow$ De plus, \underline{SI} $|z| < min(R_a, R_b)$, on a:
$\sum\limits_{n=0}^{+\infty} c_nz^n = (\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n z^n) \times (\sum\limits_{n=0}^{+\infty} b_nz^n)$
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Q: [latex]Après avoir défini la notion de somme d'une série entière d'une variable réelle: énoncer les 4 théorèmes associés.[/latex]
A: [latex]
Soit $\sum a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R$.
Soit $x$ un réel de l'intervalle de convergence $I = ]-R, R[$.
La fonction $S:x \mapsto \sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ est définie sur $I$.\\
\begin{enumerate}
\item \textbf{Continuité}:
La fonction $S$ est continue sur $]-R, R[$.
Si de plus, $\sum a_nz^n$ converge en $x=R$ (resp. $x = -R$) $S$ est continue sur $]-R, R]$ (resp. $[-R, R[$).
\item \textbf{Dérivation}:
La fonction $S$ est dérivable sur $]-R, R[$ et $\forall x \in ]-R, R[$, $S'(x) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$.
\item \textbf{Généralisation}:
La fonction $S$ est de classe $\mathcal{C}^{+\infty}$ sur $]-R, R[$ et $\forall p \in \mathbb{N}^*, S^{(p)}(x) = \sum\limits_{n=p}^{+\infty} n(n-1)...(n-p+1)a_n x^{n-p}$
\item \textbf{Intégration}:
$\forall x \in ]-R, R[, \int_0^x S(t)dt = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$.
Cette série admet également $R$ comme rayon de convergence.
\end{enumerate}
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Q: [latex]Définir la notion de fonction développable en série entière autour de 0.[/latex]
A: [latex]On dit qu'une fonction $f$ est développable en série entière autour de 0 si et seulement si il existe $R>0$ et une série entière $\sum a_n z^n$ telle que $\forall x \in ]-R, R[, f(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$.[/latex]

[latex]Enoncer la règle d'Alembert, appliquée aux séries.[/latex]

Q: [latex]Qu'est-ce qu'une méthode bien pratique pour déterminer le rayon de convergence d'une série entière ?[/latex]
A: [latex]La règle d'Alembert.
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Q: [latex]Quelle sont les méthodes les plus classiques pour calculer une série entière ?[/latex]
A: [latex]
- Déterminer le rayon de convergence.
Puis, plusieurs possibilités classiques:
\begin{enumerate}
\item Se ramener à des DSE usuels.
\item Reconnaître la dérivée d'un truc sympa.
\item Reconnaître la primitive d'un truc sympa.
\end{enumerate}
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Q: [latex]Pour quelles valeurs de $a$ a-t-on le développement limité $(1 + x)^a$ autour de 0 ?[/latex]
A: [latex]
Pour n'importe quelle valeur de $a \in \mathbb{R}$.
Toutefois, attention à la valeur du rayon de convergence.
Il faut que $a \in \mathbb{N}$ pour avoir un rayon de convergence $R = +\infty$
Si $a \notin \mathbb{R}$, $R = 1$ (démontré par la règle d'Alembert par exemple).
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Q: [latex]D'où vient le fait que le rayon de convergence de la série entière associée à $(1 + x)^\alpha$ varie selon les valeurs de $\alpha$ ?[/latex]
A: [latex]
Si $\alpha \in \mathbb{N}$, alors il s'agit d'un polynôme: son développement en série entière \underline{est une somme finie}, son rayon de convergence est donc infini.
Dans tous les autres cas, on montre aisément par la règle d'Alembert que le rayon de convergence de la série vaut $1$.
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Q: [latex]Qu'est-ce qu'une façon d'obtenir le rayon de convergence d'une série entière lorsqu'on ne peut pas appliquer le critère d'Alembert (parce que les $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ dépendent de $n$ par exemple, ce qui rend impossible de calculer la limite) ?[/latex]
A: [latex]
Il ne faut surtout pas hésiter à utiliser \underline{le lemme d'Abel}.
Pour rappel, celui dit que:
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Exemple d'utilisation: Exercice 12 des exercices de préparation aux oraux de 2022 non posés en TD:
On avait: $a_{4p} = \frac{(-1)^p}{(2p)!}a_0$; $a_{4p+2} = \frac{(-1)^p}{(2p+1)!}$; $a_{4p+1} = a_{4p+3} = 0$
Donc, par le lemme d'Abel :
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Q: [latex]Que peut-on dire des séries $\sum u_n$ et $\sum n u_n$ ?[/latex]
A: [latex]
Pas grand chose, sauf dans le cas des séries entières:
$\sum a_nz^n$ et $\sum n a_n z^n$ ont le même rayon de convergence;
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