Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Réduction des endomorphismes et des matrices

Q: [latex]Définir ce que sont une valeur propre et un vecteur propre en mathématiques. + valeur propre et vecteur propre associés.[/latex]
A: [latex]Soit $E$ un $\mathbb{K}$-ev et $f$ endormorphisme de $E$.
Soit $\lambda \in \mathbb{K}$. On dit que $\lambda$ est \underline{valeur propre} si $\exists u \in E, u \neq 0_E, f(u) = \lambda u$.
Soit $u \in E$. On dit que $u$ est \underline{vecteur propre} de $f$ si $u \neq 0_E$ et si $\exists \lambda \in \mathbb{K}, f(u) = \lambda u$.
$u$ et $\lambda$ sont alors un vecteur propre et une valeur propre \underline{associés}.
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de spectre pour un endomorphisme.[/latex]
A: [latex]On appelle spectre de $f$ et on note $S_p(f)$ l'ensemble des valeurs propres de $f$.[/latex]

[latex]Définir les notions de valeur propre, vecteur propre, spectre, valeur propre et vecteur propre associés \underline{pour les matrices d'un endomorphisme}.[/latex]

Q: [latex]Faire le lien entre valeur propre/vecteur propre/spectre pour un endomorphisme et pour une matrice[/latex]
A: [latex]Si $E$ est un $\mathbb{K}$-ev de dimension finie $n \geq 1$ et $\mathcal{B}$ est une base de $E$.
Soit $f$ un endomorphisme de $E$ et $A = M_\mathcal{B} (f)$ alors:
-$S_p(f) = S_p(A)$.
-u vecteur propre de $f$ $\iff$ $M_\mathcal{B}(u)$ vecteur propre de $A$.
[/latex]

[latex]Définir la notion de sous-espace propre.[/latex]

Q: [latex]Définir les notions de polynôme caractéristique d'un endormorphisme et d'une matrice liée à un endomorphisme.[/latex]
A: [latex] Soit $E$ une $\mathbb{K}$-ev de dimension finie $n \geq 1$ et $f$ endomorphisme de $E$.
On appelle polynôme caractéristique de $f$ et on note $\chi_f$ le polynôme $\chi_f(X) = det(X id_E - f)$.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $A \in M_n(\mathbb{K})$.\\
On appelle polynôme caractéristique de $A$ et on note $\chi_A$ le polynôme $\chi_A (X) = det(XI_n - A)$.
[/latex]

Q: [latex]Quelle relation lie le polynôme caractéristique d'un endomorphisme et le polynôme caractéristique de la matrice liée à cet endormorphisme ?[/latex]
A: [latex]$\chi_f = \chi_A$[/latex]

[latex]Donner une formule pour le polynôme caractéristique de la matrice d'un endomorphisme. (pas la définition)[/latex]

Q: [latex]Enoncer la proposition liant le polynôme caractéristique de deux matrices semblables.[/latex]
A: [latex]Si deux matrices sont semblables, elles ont le même polynôme caractéristique.[/latex]

Q: [latex]Enoncer la proposition liant valeur propre et polynôme caractéristique.[/latex]
A: [latex]Soit $E$ un $\mathbb{K}$-ev de dimension finie $n \geq 1$ et $f$ endomorphisme de $E$. Soit $\lambda$ valeur propre de $f$.\\
\underline{Donc}: $\lambda$ valeur propre de $f$ $\iff$ $\lambda$ racine de $\chi_f$[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'ordre de multiplicité d'une valeur propre.[/latex]
A: [latex]Soit $E$ un $\mathbb{K}$-ev de dimension finie $n \geq 1$ et $f$ endomorphisme de $E$. Soit $\lambda$ une valeur propre de $f$.\\
On appelle \underline{ordre de multiplicité} de $\lambda$ et on note $m_\lambda$ la multiplicité de $\lambda$ en tant que racine de $\chi_f$.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de diagonalisabilité pour un endomorphisme.[/latex]
A: [latex]Soit $E$ un $\mathbb{K}$-ev de dimension finie $n\geq 1$ et $f$ un endomorphisme de $E$.
$f$ est dit diagonalisable si il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est diagonale.[/latex]

Q: [latex]Donner la propriété de caractérisation de la diagonalisabilité d'un endormorphisme qui ne fait pas appel à la notion de polynôme caractéristique.[/latex]
A: [latex]Soit $E$ un $\mathbb{K}$-ev de dimension finie $n\geq 1$ et $f$ un endomorphisme de $E$.
$f$ diagonalisable $\iff$ il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $f$.[/latex]

[latex]Enoncer le théorème de caractérisation de la diagonalisabilité d'un endormorphisme.[/latex]

Q: [latex]Soit $k \in \mathbb{N}$. Si $f$ est diagonalisable, que peut-on dire de $f^k$ ?[/latex]
A: [latex]Si $f$ est diagonalisable, $f^k$ diagonalisable et:
-Ses valeurs propres sont les $\lambda^k$, où $\lambda$ désigne une valeur propre de $f$.
-Les vecteurs propres de $f$ sont aussi vecteurs propres de $f^k$.
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de matrice diagonalisable.[/latex]
A: [latex]Soit $n \in \mathbb{N}^*$, soit $A \in M_n(\mathbb{K})$.
$A$ est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.[/latex]

Q: [latex]Enoncer la proposition qui fait le lien entre diagonalisabilité d'une matrice et diagonalisabilité d'un endomorphisme.[/latex]
A: [latex]$A$ est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ est diagonalisable.[/latex]

Q: [latex]Enoncer la méthode de diagonalisation d'une matrice $A$.[/latex]
A: [latex]\begin{enumerate}
\item Calculer le polynôme caractéristique de $A$ sous forme factorisée.
\item En déduire que $A$ est diagonalisable si le polynôme est scindé.
\item Calculer les sous-espaces propres de $A$.
\item En déduire les vecteurs associés aux valeurs propres de $A$ pour $f$ l'endomorphisme associé $A$.
\item Poser $\mathcal{B}$ base de $f$ constituée de ces vecteurs.
\item Poser $D$ la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}$ et $P$ la matrice canoniquement associée à $\mathcal{B}$.
\end{enumerate}[/latex]

Q: [latex]Comment vérifie-t-on la cohérence des valeurs propres d'une matrice ?[/latex]
A: [latex]On utilise la trace $Tr(A)$, elle doit être égale à la somme des valeurs propres trouvées.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'endomorphisme trigonalisable.[/latex]
A: [latex]Un endomorphisme $f$ de $E$ est dit trigonalisable $\iff$ il esiste une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est triangulaire supérieure.[/latex]

Q: [latex]Donner le théorème en rapport avec la trigonalisation de $f \in \mathcal{L}(E)$ (resp. de $A$).[/latex]
A: [latex]Soit $E$ un $\mathbb{K}$-ev de dimension finie. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$\\
$f$ trigonalisable $\iff$ $\chi_f$ scindé.
(resp. $A$ trigonalisable $\iff$ $\chi_A$ scindé.)[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de polynôme scindé.[/latex]
A: [latex]En algèbre, un polynôme est dit scindé s'il est décomposable en facteurs de degré 1 sur $\mathbb{K}$[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de trigonalisabilité d'une matrice.[/latex]
A: [latex]Soit $A \in M_n(\mathbb{K})$.
On dit que $A$ est trigonalisable $\iff$ $A$ semblable à une matrice triangulaire supérieure.[/latex]

Q: [latex]Donner la proposition qui fait le lien entre déterminant, trace et valeurs propres.[/latex]
A: [latex]Soit $A \in M_n(\mathbb{C})$.
Soient $(\lambda_1,...,\lambda_n)$ les valeurs propres, pas forcément distinctes de $A$ dans $\mathbb{C}$.\\
On a: $tr(A) = \lambda_1 + ... + \lambda_n$
$det(A) = \lambda_1 \times ... \times \lambda_n$[/latex]

Q: [latex]Enoncer la méthode de trigonalisation d'une matrice carrée d'ordre 3 ayant deux valeurs propres distinctes.[/latex]
A: [latex]\begin{enumerate}
\item Calculer le polynôme caractéristique de $A$.
\item En déduire les valeurs propres, vérifier avec la trace de $A$ la cohérence des résultats.
\item Calculer les sous-espaces propres associés.
\item Poser une base à l'aide des bases trouvées pour ces sous-espaces. S'il n'y en a pas assez pour former une base, compléter la famille par un vecteur simple type $e_3 = (0,0,1)$ par exemple.
\item Montrer que la famille ainsi formée est une base à l'aide du determinant (on veut $det(e_1, e_2, e_3) \neq 0$).
\item En déduire la forme de $B$ la matrice de $f$ dans cette nouvelle base.
\item Résoudre: On utilise la trace pour obtenir une equation sur les coefficients diagonaux et on utilise la matrice initiale pour les autres.
\end{enumerate}[/latex]

[latex]En quoi le fait qu'une matrice $A$ soit diagonalisable rend le calcul de $A^n$ aisé ?[/latex]

[latex]En quoi le fait qu'une matrice $A$ soit diagonalisable rend cette résolution aisée ?[/latex]

[latex]Comment tu résouds ça ?[/latex]

Q: Quel lien existe-t-il entre valeur propre et injectivité ?
A: f non injective ssi 0 valeur propre de f

Q: [latex]Quelle confusion peut-être faite sur la propriété de diagonalisabilité d'une matrice ?[/latex]
A: [latex]
Il ne suffit pas de dire qu'une matrice a un polynôme caractéristique scindé pour qu'elle soit diagonalisable, il faut vérifier la dimension de ses espaces propre avant de conclure.
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire du lien entre inversibilité et diagonalisabilité ?[/latex]
A: [latex]
Il n'y en a aucun !
* il existe des matrices inversibles diagonalisables
* il existe des matrices non inversibles diagonalisables
* il existe des matrices inversibles non diagonalisables
* il existe des matrices non inversibles non diagonalisables
[/latex]

Q: [latex]Quel est le lien entre valeur propre et inversibilité d'une matrice carrée ?[/latex]
A: [latex]
$0$ valeur propre $\iff$ matrice carrée non inversible.
[/latex]

Q: [latex]Quelle est la condition que doivent remplir $F$ et $G$ pour pouvoir introduire un projecteur $p$ sur $F$ parallèlement à $G$ ?[/latex]
A: [latex]
Il faut que $F$ et $G$ soient supplémentaires dans $E$.
[/latex]

Q: [latex]Quelle particularité ont les valeurs propres d'une projection ?[/latex]
A: [latex]
Les valeurs propres d'une projections sont toujours $0$ et/ou $1$.
[/latex]

Q: [latex]Quelle particularité ont les valeurs propres d'une symétrie ?[/latex]
A: [latex]
Les valeurs propres d'une symétrie (orthogonale ou non) sont toujours $1$ et $-1$.
[/latex]

Q: [latex]Quel lien existe-t-il entre valeur propre et injectivité (pas de la fonction étudiée) ?[/latex]
A: [latex]
$\lambda \in Sp(f) \iff f - \lambda i_d$ est non injective $\iff det(f - \lambda i_d) = 0  \iff ker(f - \lambda id_E) \neq \{0_E\}$
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Q: [latex]Quel lien existe-t-il entre valeur propre et inversibilité (pas de la matrice de l'endomorphisme) ?[/latex]
A: [latex]
$\lambda \in Sp(A) \iff A - \lambda I$ est non inversible $\iff det(A - \lambda I) = 0  \iff ker(A - \lambda I) \neq \{0_{M_n(\mathbb{K})}\}$
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Q: [latex]Qu'attend-on de nous lorsqu'on nous demande de "réduire une matrice" ?[/latex]
A: [latex]
On attend de nous de rendre la matrice la plus simple possible. Cela revient à la diagonaliser si possible, sinon la trigonaliser.
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Q: [latex]Qu'est-ce qu'on peut attendre en conclusion lorsqu'on nous demande de diagonaliser une matrice $A$ et d'en déduire $A^n$ ?[/latex]
A: [latex]
Pour être un chef, on calcule la valeur de $D^n$ en fonction de $D$ et on va trouver un truc qui va ressembler à du $k^{n-1} D$ ce qui nous permettrait de conclure $A^n = k^{n-1}A$.
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