Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Déterminants

[latex]Définir la notion de déterminant dans le cadre des matrices.[/latex]

Q: [latex]Quels sont les cas particuliers connus où le déterminant d'une matrice est nul ?[/latex]
A: [latex]Le déterminant d'une matrice ayant deux colonnes égales est nul.\\
Le déterminant d'une matrice ayant une colonne nulle est nul.[/latex]

Q: [latex]Comment peut-on modifier une matrice sans changer la valeur de son déterminant ?[/latex]
A: [latex]On ne change pas la valeur du déterminant si on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.[/latex]

Q: [latex]Que sait-on sur le déterminant des matrices diagonales ou triangulaires?[/latex]
A: [latex]Soit $A \in \mathcal{M}(\mathbb{K})$. Si $A$ est diagonale ou triangulaire, $det A$ est le produit des coefficients diagonaux de la matrice.[/latex]

Q: [latex]Enoncer la propriété qui fait le lien entre déterminant et inversibilité d'une matrice.[/latex]
A: [latex]$A$ est inversible si et seulement si $det(A) \neq 0$.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de déterminant d'une famille de vecteurs.[/latex]
A: [latex]Soit $\mathcal{B}$ une base de $E$, $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$.\\
Soient $v_1,...,v_n$ $n$ vecteurs de $E$.\\
Le déterminant des $n$ vecteurs $v_1,...,v_n$ dans la base $\mathcal{B}$ est le déterminant de la matrice des vecteurs $(v_1,...,v_n)$ dans $\mathcal{B}$. On le note $det_\mathcal{B}$.[/latex]

[latex]Quels liens peut-on faire entre $f$ endomorphisme de $E$ est aussi un automorphisme de $E$ et $det f$ ?[/latex]

[latex]Donner la formule de calcul d'un déterminant d'ordre 2.[/latex]

[latex]Donner la méthode pour calculer un déterminant d'ordre $\geq 3$.[/latex]

[latex]Définir ce qu'est le déterminant de Vandermonde et donner la propriété associée.[/latex]

Q: [latex]Donner le lien entre la matrice d'un système linéaire et le fait que ce système admette une unique solution.[/latex]
A: [latex]Soit $(S)$ un système de $n$ équations à $n$ inconnues. Alors:\\
$(\mathcal{S})$ est de Cramer $\iff det(\mathcal{S}) \neq 0 \iff rg(\mathcal{S}) = n \iff A$ inversible $\iff f$ bijective $\iff (\mathcal{S})$ admet une solution unique.[/latex]

Q: [latex]Donner, dans le cadre des déterminants de matrices, les formules pour le développement par rapport à une ligne ou une colonne.[/latex]
A: [latex]Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. On note $A_{i,j}$ la matrice carrée d'ordre $n-1$ obtenue en supprimant la $i^e$ ligne et la $j^e$ colonne de $A$.\\
Formule pour le développement par rapport à la $j^e$ colonne:
\fbox{$det A = \sum_{i=1}^n a_{i,j} (-1)^{i+j} det A_{i,j}$}\\
Formule pour le développement par rapport à la $i^e$ ligne:
\fbox{$det A = \sum_{j=1}^n a_{i,j} (-1)^{i+j} det A_{i,j}$}
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Q: [latex]Comment tu résouds ça le boss ?[/latex]
A: [latex]Soit $u = (x,y,z)$, $u \in \mathcal{P} \iff ((x,y,z),(-1,1,-1),(2,3,0))$ liée $\iff det((x,y,z),(-1,1,-1),(2,3,0)) = 0$[/latex]

Q: [latex]Comment démontrer qu'un endomorphisme est une bijection ?[/latex]
A: [latex]
$f$ endomorphisme et bijection $\iff det(f) = 0$
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