Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Matrices - PTSI + mise à jour PTE

Q: Démontrer l'associativité du produit matriciel
A: cf cours

Q: Donner les matrices élémentaires, leur nom et leur effet lors du produit d'une matrice par celles-ci. +comment on les utilise?
A: Matrice de tranvection: Ti,j(µ) = In +µEi,j
Matrice de permutation: Pi,j = In −Ei,i −Ej,j +Ei,j +Ej,i
Matrice de dilatation: Di(λ) = In +(λ−1)Ei,i
On les utilise par exemple en faisant le produit: Di(λ)*A
-> Di(λ)A est la matrice obtenue en appliquant à A l’opération Li ← λLi .
Vocabulaire: λ est la rapport

Q: Démontrer l'inversibilité d'une matrice diagonale si et seulement si tout ses coefficients diagonaux sont non-nuls.
A: cf cours

Q: Démontrer la linéarité de la transposition.
A: cf cours, sinon il y a cette capture mais ca ne vaut pas forcément le cours je crois (pp22)

Q: Démontrer la transposée du produit: ^t(AB) = ^tA^tB
A: cf cours, sinon il y a toujours cette capture mais le cours est potentiellement mieux si jamais (pp22)

Q: Donner la condition nécessaire à l'application du Binôme de Newton sur des matrices.
A: Pour appliquer le Binôme de Newton à des matrices, il faut ABSOLUMENT qu'elles COMMUTENT

Définir le produit matriciel entre deux matrices A et B.

Donner la méthode pour trouver l'inverse d'une matrice.

Définir ce qu'est une matrice symétrique et antisymétrique.

Définir la transposée d'une matrice.

Q: Définir la notion de matrice élémentaire et donner la notation.
A: [latex]On note $E_{i,j}$ la matrice dont seul le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ est non nul et vaut 1.[/latex]

Q: Donner la formule du produit matriciel.
A: [latex]Soit $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})$, on définit le produit $A \times B$ comme étant égal à la matrice $C \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})$ avec:
\begin{center}
\fbox{$c_{ij} = \sum\limits_{k=1}^p a_{i,k} b_{k,j}$}
\end{center}[/latex]

[latex]
\begin{itemize}
\item $A^T + B^T$
\item $\lambda A^T$
\item $A$
\item $B^T A^T$
\item $(A^{-1})^T$
\end{itemize}
[/latex]

[latex]Savoir démontrer que $\mathcal{S}_n(\mathbb{K})$ et $\mathcal{A}_n(\mathbb{K})$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.(tombe aux concours)[/latex]

Q: Définir la notion de trace dans le cadre des matrices.
A: [latex]Soit $A = (a_{i,j})_{1\leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. On appelle trace de $A$ le nombre noté $Tr(A) = \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}$ [/latex]

[latex]Montrer que: Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Alors $Tr(AB) = Tr(BA)$ (tombe aux concours)[/latex]

Définir la représentation matricielle d'une famille de vecteurs.

Enoncer le théorème de caractérisation des bases dans le cadre des matrices.

Q: [latex]
Soient $B, B'$ deux bases de E. Soit $f$ endomorphisme de $E$. Donner la formule pour obtenir la matrice de $f$ dans $B'$ à partir de la matrice de $f$ dans $B$.
[/latex]
A: [latex]
$M_{B'}(f) = P^{-1}_{B \to B'} M_{B}(f) P_{B \to B'}$
[/latex]

Définir la notion de matrices semblables.

Enoncer le théorème du rang pour des matrices.

Q: Quel lien existe-t-il entre rang d'une matrice et inversibilité ?
A: [latex]Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Donc:\\
$A$ est inversible $\iff rg(A) = n$\\
$(\iff Im(A) = \mathbb{K}^n \iff ker(A) = \{0\} \iff dim(ker(A)) = 0)$ (th. du rang pour ce qui est entre parenthèses)[/latex]

Enoncer la proposition qui permet visuellement de déterminer le rang d'une matrice.

[latex]Lors d'un calcul matriciel, on obtient:
$B^n = (J_3 + I_3)^n$, où $J_3 = \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{matrix}\right)$
Conclure ce calcul.
[/latex]

Q: [latex]Tout sur les matrices semblables:
- Définition
- Caractéristiques communes
- Réciproque: est-ce que 2 matrices ayant des caractéristiques communes sont forcément semblables ?
[/latex]
A: [latex]
- $A$ et $B$ sont semblables $\iff \exists P, B = P^{-1}AP$.
- Caractéristiques communes:
\begin{enumerate}
\item Même trace
\item Même polynôme caractéristique
\item Même valeurs propres
\item Même multiplicité des valeurs propres
\item Même endormorphisme associé (Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases prises simultanément comme base de départ et d'arrivée.)
\end{enumerate}
- Attention toutefois, deux matrices admettant la même trace et le même polynôme caractéristique ne sont pas forcément semblables pour autant !
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire des coefficients matrices anti-symétriques ? (au-delà de la définition)[/latex]
A: [latex]
Un matrice anti-symétrique a forcément ses coefficients diagonaux tous nuls.\\
\textit{Note: C'est ce qui permet à $A_n(\mathbb{K})$ et à $S_n(\mathbb{K})$ d'être supplémentaire dans $M_n{\mathbb{K}}$ en ayant $dim(A_n(\mathbb{K})) + dim(S_n(\mathbb{K})) = n^2 = dim(M_n(\mathbb{K}))$}
[/latex]

Q: [latex]Comment appelle-t-on les matrices qui s'annulent à partir d'une certaine puissance ?[/latex]
A: [latex]
On les appelle matrices nilpotentes.
[/latex]