Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Variables aléatoires discrètes

Q: [latex]Définir la notion de loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ ?[/latex]
A: [latex]Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$, c'est donner l'application qui a tout événement de $\Omega$ associe la probabilité que cet événement arrive.
i.e. l'application $\Omega \to [0,1]$ et $w \mapsto P(X = w)$
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Q: [latex]Quelle est la notation pour la loi de la variable aléatoire $X$ ? [/latex]
A: [latex]On note $P_X$ la loi de la variable aléatoire $X$.[/latex]

Q: [latex]Donner le théorème permettant de vérifier que l'on peut associer une certaine loi de probabilité à une variable aléatoire.[/latex]
A: [latex]
Soit $X$ une variable aléatoire.
Si:
- $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ suite de réels positifs vérifiants $\sum_{n = 0}^{+\infty} p_n = 1$
- $X$ prend ses valeurs dans $\{x_n, n \in \mathbb{N}\}$, les $x_n$ étants distincts
Alors: il existe une probabilité $P$, $P(X = x_n) = p_n$.
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Q: [latex]Définir la notion de fonction de répartition en mathématiques dans le cadre des variables aléatoires discrètes.[/latex]
A: [latex]
Soit $X$ une variable aléatoire.
$F_X : x \mapsto P(X \leq x)$ est appelée fonction de répartition de la variable aléatoire $X$.
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Q: [latex]Quel lien existe-t-il entre deux variables aléatoires partageant la même fonction de répartition ?[/latex]
A: [latex]Des variables aléatoires réelles ayant la même fonction de répartition ont la même loi.
$\rightarrow$ On dit que la fonction de répartition caractérise la loi.
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Q: [latex]Que peut-on dire des valeurs d'une fonction de répartition en $+\infty$ et en $-\infty$ ?[/latex]
A: [latex]
$\lim\limits_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$
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Q: [latex]Enoncer le théorème de définition d'une variable aléatoire à partir de l'association d'une variable aléatoire réelle existente et d'une application.[/latex]
A: [latex]
Soit $X$ v.a.r. discrète.
On peut introduire $g : X(\Omega) \to \mathbb{R}$.
Alors: $g(X(\omega))$ est une v.a.r. discrète.
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Q: [latex]Définir la notion de couple de variables aléatoires.[/latex]
A: [latex]
On appelle couple $(X, Y)$ l'application définie par $(X,Y)(\omega) = (X(\omega), Y(\omega))$.
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Q: [latex]Définir la notion de loi conjointe d'un couple de variables aléatoires.[/latex]
A: [latex]
La loi conjointe du couple $(X,Y)$ est l'application $(x,y) \to P(X = x, Y = y)$.
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Q: [latex]Définir la notion de loi marginale du couple de variables aléatoires $(X, Y)$.[/latex]
A: [latex]
Si on connaît la loi de $(X,Y)$, la loi de $X$ est appelée loi marginale de $X$ et la loi de $Y$ est appelée loi marginale de $Y$.
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Q: [latex]Définir la notion de loi conditionnée dans le cadre des variables aléatoires.[/latex]
A: [latex]
Soit $X$ une variable aléatoire réelle.
Deux cas se présentent:
- Soit $A$ événement de $T$:
La loi de $X$ conditionnée par $A$ est: $\{P_A(X = x_i), i\in I\}$.\\
- Soit $(X,Y)$ couple de variables aléatoires réelles.
La loi de $X$ conditionnée par $Y$ est: $\{P_{Y = y_j}(X = x_i), i \in I, j \in J\}$ si $X$ prend les valeurs $x_i$ et $Y$ les valeurs $y_j$
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Q: [latex]Définir la notion de variables aléatoires indépendantes + notation.[/latex]
A: [latex]
Les v.a $X$ et $Y$ sont dites indépendantes $\iff \forall (x,y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega), P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y)$.
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[latex]Définir la notion de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de suite de variables aléatoires indépendantes.[/latex]
A: [latex]
Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires. On dit que cette suite est une suite de variables aléatoires indépendantes si $\forall n \in \mathbb{N}, (X_1,...,X_n)$ sont mutuellement indépendantes.
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Q: [latex]Définir ce qu'est une suite de variables aléatoires i.i.d. (indépendantes équidistribuées).[/latex]
A: [latex]Une suite de variables aléatoires est dite i.i.d. (indépendantes équidistribuées) s'il s'agit d'une suite de variables aléatoires indépendantes ayant toutes la même loi.
\textit{Exemple: pile/face infini}
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Q: [latex]Enoncer le lemme des coalitions.[/latex]
A: [latex]
Soit $m < n \in \mathbb{N}$. Soit $E$ un ensemble.
Soient $X_1,...,X_n$ $n$ variables aléatoires discrètes à valeurs dans $E$.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur $E^m$ et $E^{n-m}$.
Si les variables aléatoires $X_1,...,X_n$ sont indépendantes, alors les variables aléatoires $f(X_1,...,X_m)$ et $g(X_{m+1},...,X_n)$ sont indépendantes.
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Q: [latex]Définir la notion de loi uniforme.[/latex]
A: [latex]
On dit que $X$ suit la loi uniforme sur $[|1,n|]$ lorsque $X$ prend les valeurs $i \in [|1,n|]$ et $\forall i \in [|1,n|], P(X = i) = \frac{1}{n}$.
Cela correspond à une situation d'équiprobabilité.
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Q: [latex]Définir la notion de loi de Bernoulli.[/latex]
A: [latex]
Soit $p \in [0,1]$. On dit que la var $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, notée $\mathcal{B}(p)$, lorsque $X$ prend ses valeurs dans $\{0,1\}, P(X = 1) = p$ et $P(X = 0) = 1 - p$.
On note $X \sim \mathcal{B}(p)$
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Q: [latex]Définir la notion de loi binomiale.[/latex]
A: [latex]
On considère une expérience aléatoir et un événement $A$ de probabilité $p$. On effectue cette expérience $n$ fois de manière indépendante. Soit $X$ le nombre de réalisations de $A$ au cours des $n$ épreuves.
$X$ prend les valeurs $k \in [|0,n|]$ et $\forall k \in [|0, n|], P(X = k) = (_k^n) p^k (1-p)^{n-k}$.
On note $X \sim \mathcal{B}(n,p)$.
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Q: [latex]Enoncer la propriété sur la somme de deux lois binomiales.[/latex]
A: [latex]
Si on prend $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ et $Y \sim \mathcal{B}(n',p)$ deux var.
Donc, $X + Y \sim \mathcal{B}(n+n',p)$.
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Q: [latex]Définir la notion de loi géométrique.[/latex]
A: [latex]
Soit $p \in ]0,1[$. On dit que $X \sim G(p)$ lorsque $X$ prend les valeurs $k \in \mathbb{N}^*$ avec les probabilités $P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$.
Cela correspond à réaliser la même expérience jusqu'à ce qu'un événement $A$ de probabilité $p$ soit réalisé pour la première fois.
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[latex]$= P_{x > n}(X > n + k)$[/latex]

[latex]Définir la notion de loi de Poisson.[/latex]

Q: [latex]Enoncer le théorème d'approximation de la loi binomial par une loi de Poisson.[/latex]
A: [latex]
Soit $(X_n)$ une suite de va telles que $X_n \sim \mathcal{B}(n,p_n)$ avec $\lim\limits_{n \to +\infty} np_n = \lambda$.
Alors: $\forall k \in \mathbb{N}, \lim\limits_{n \to +\infty} P(X_n = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
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Q: [latex]Enoncer la propriété de factorisation de la probabilité conjointe.[/latex]
A: [latex]
Si $X$ et $Y$ deux var \underline{sont indépendantes}, alors: $P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)$.
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Q: [latex]Que signifie "donner la loi du couple $(X,Y)$" dans le cadre des variables aléatoires ?[/latex]
A: [latex]
Pour répondre à la question "donner la loi du couple $(X,Y)$", on donne,
$\forall i,j \in \mathbb{N}, P((X = i) \cap (Y = j)) = P(X = i, Y= j)$
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