Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Etude métrique des courbes planes

Q: [latex]Définir la notion de $C^k$ difféomorphisme.[/latex]
A: [latex]
Soit $I$ intervalle de $\mathbb{R}$ et $\varphi$ fonction de $I$ vers $J$.
On dit que $\varphi$ est un $C^k$ difféomorphisme de $I$ vers $J$ si:
- $\varphi$ bijection de $I$ vers $J$.
- $\varphi$ est $C^k(I)$.
- $\varphi^{-1}$ est $C^k(J)$.
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de changement de paramétrage et de paramétrage admissible pour un arc du plan.[/latex]
A: [latex] Soit $C$ un arc paramétré de classe $C^k$ paramétré par $f : I \to \mathbb{R}^2$.
Changement de paramétrage de $C$: tout $C^k$ difféomorphisme $\varphi: J \to I$, où $J$ est un intervalle de $\mathbb{R}$.
Paramétrage admissible de $C$: toute application $g: J \to \mathbb{R}^2$, où $J$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ telle qu'il existe un changement de paramétrage $\varphi$ de $C$ tel que $g = f \circ \varphi$.
[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'abscisse curviligne.[/latex]
A: [latex]
Une abscisse curviligne sur $C$ est une application $s$ de classe $C^1$ sur $I$ telle que: $\forall t \in I, s'(t) = ||f'(t)||$, où $f$ paramétrage admissible de $C$.
[/latex]

[latex]Définir la notion de longueur algébrique d'un arc.[/latex]

[latex]Définir ce qu'est le repère de Fresnet en mathématiques.[/latex]

Q: [latex]En général, on ne nous donne pas l'abscisse curviligne d'une courbe mais son paramétrage. Comme obtient-on le repère de Fresnet à partir du paramétrage ?[/latex]
A: [latex]
Le repère de Fresnet en $M(t)$ est le repère $(M(t), \vec{T}(t), \vec{N}(t))$ dans lequel:
$\vec{T}$ est le vecteur unitaire défini par $\vec{T}: \frac{f'(t)}{s'(t)}$. $\vec{N}(t)$ se déduit par rotation vectorielle d'angle $\frac{\pi}{2}$.
[/latex]

[latex]Définir la notion de courbure d'une courbe. + formules de Frénet[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de point birégulier.[/latex]
A: [latex]Un point $M$ de $C$ est dit birégulier si les vecteurs $\vec{T}$ et $\frac{d\vec{T}}{ds}$ ne sont pas colinéaires.[/latex]

[latex]Définir la notion de rayon de courbure dans le cadre des courbes paramétrées.[/latex]

[latex]Définir la notion de centre de courbure.[/latex]

[latex]Définir la notion de développée dans le cadre des courbes paramétrées.[/latex]

Q: [latex]Enoncer le théorème permettant d'accéder à la développée d'une courbe paramétrée.[/latex]
A: [latex]Soit $C$ un arc de classe $C^2$ sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. On suppose que la courbure ne s'annule pas.
Soit $D_t$ la normale au point de paramètre $t \in I$. L'enveloppe de la famille $(D_t)_{t\in I}$ est la développée de $C$.
[/latex]

Q: [latex]Donner une formule pour $\gamma (s)$ la courbure de $C$ au point $M(s)$[/latex]
A: [latex]
On a: $\frac{d\vec{T}}{ds} = \frac{d\vec{T}}{d\alpha}\times\frac{d\alpha}{ds} = \gamma (s) \vec{N}$
Ainsi, $\gamma (s) = \frac{d\alpha}{ds}$
[/latex]

[latex]Donner les formules conséquences du théorème du relèvement pour $cos(\alpha)$ et $sin(\alpha)$.[/latex]

Q: [latex]Donner les 3 méthodes pour calculer le rayon de courbure. (détailler les calculs lorsque c'est nécessaire)[/latex]
A: [latex]
Méthode n°1:
On remarque que $f'(t) = s'(t)\vec{T}$.
Donc: $f''(t) = s''(t)\vec{T} + s'(t)\frac{d\vec{T}}{dt}$
Or: $\frac{d\vec{T}}{ds} = \frac{d\vec{T}}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac{T'(t)}{s'(t)} = \gamma(t) \vec{N}$
Donc: $(f''(t)|\vec{N}(t)) = s'(t)^2 \gamma (t)$\\
Méthode n°2:
On dit directement que $\frac{d\vec{T}}{ds} = \frac{d\vec{T}}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac{T'(t)}{s'(t)} = \gamma(t) \vec{N}$\\
Méthode n°3:
On calcule la développée et on déduit $R$ en disant que la développée est à une distance $R$ de la courbe en tout point $M$ dans la direction $\vec{N}$.
[/latex]

Q: [latex]Donner la formule secondaire de la courbure et la lier au rayon de courbure.[/latex]
A: [latex]
$\gamma(t) = \frac{d\alpha}{ds} = \frac{1}{R}$
Ainsi, $R = \frac{ds}{d\alpha}$.
[/latex]

[latex]Donner les deux formules de Frénet.[/latex]

[latex]Donner les deux définitions (ou caractérisations) de la développée d'une courbe régulière.[/latex]

Q: [latex]Quelle est l'erreur courante sur l'obtention de la développée d'une courbe régulière que je fais ?[/latex]
A: [latex]
Attention, le théorème qui utilise l'enveloppe des droites s'utilise sur l'ensemble des \underline{NORMALES} de la courbe et non les tangentes !!!
[/latex]

Q: [latex]Quelle est l'erreur courante sur la notion d'abscisse curviligne ?[/latex]
A: [latex]
Il faut bien avoir en tête que $s'(t) = ||f'(t)||$ et non $s(t) = ||f(t)||$, c'est bien la dérivée qui définie $s$.
[/latex]

Q: [latex]Comment obtient-on la normale à une courbe plane ? + erreur courante[/latex]
A: [latex]
Attention, calculer $f'(t)$ ne permet pas d'obtenir un vecteur directeur de la normale à la courbe plane mais un vecteur tangeant (d'ailleurs on a $\vec (T) = \frac{f'(t)}{||f'(t)||}$).
Il faut faire \underline{une rotation} de $\frac{\pi}{2}$ de $\vec{T}$ ou $f'(t)$ pour obtenir un vecteur directeur de la normale à la courbe.
[/latex]

Q: [latex]Erreur récurrente lorsque je fais le calcul de $\lambda (t)$ de l'enveloppe des droites.[/latex]
A: [latex]
Ne pas utiliser le produit scalaire à la place du déterminant !
[/latex]

Q: [latex]Dans un exercice on nous demande d'obtenir le paramétrage de la développée d'une courbe. On nous demande d'en déduire le rayon de courbure. Quel est le moyen le plus rapide ?[/latex]
A: [latex]
On a la développée: $(C) : M(t) + \lambda (t) \vec{u}(t)$ où $M$ est un point de la courbe. Donc, soit $\Omega$ centre de courbure associé à $M$, on a: $\vec{O\Omega} = \vec{OM} + \lambda (t) \vec{u}(t) \iff \vec{M\Omega} = \lambda (t) \vec{u}(t)$.
[/latex]

Q: [latex]
Donner toutes les définitions de point régulier possibles. De même pour birégulier.
[/latex]
A: [latex]
\underline{Point régulier}
\begin{enumerate}
\item \underline{Dans le cadre des courbes paramétrées \textbf{du plan}}: Le point $M(t_0)$ est dit régulier si $\vec{f'(t_0)} \neq \vec{0}$.
\item \underline{Dans le cadre des courbes du plan définies par une équation cartésienne} (type $f(a,b) = 0$): On appelle point régulier de la courbe tout point $M(a,b)$ tel que $\vec{\nabla} f(a,b) \neq \vec{0}$.
\item \underline{Dans le cadre des courbes paramétrées \textbf{de l'espace}}: Le point $M(t)$ est dit régulier si $\vec{OM(t)}' \neq \vec{0}$.
\item \underline{Dans le cadre des surfaces paramétrées de l'espace}: Le point $M(u,v)$ est dit régulier lorsque $\vec{N} = \frac{\partial \vec{OM}}{\partial u} \wedge \frac{\partial \vec{OM}}{\partial v} \neq \vec{0}$
\item \underline{Dans le cadre des surfaces de l'espace définies par une équation différentielle}: Un point $M_0$ de $S$ est dit régulier si $\overrightarrow{grad f_{M_0}} \neq 0$.
\end{enumerate}
\underline{Point birégulier}
\begin{enumerate}
\item \underline{Dans le cadre des courbes paramétrées}: Le point $M(t_0)$ est dit birégulier si $(\vec{f'(t_0)}, \vec{f''(t_0)})$ est libre.
\item \underline{Dans le cadre des courbes de l'espace}: Un point $M$ de $C$ est dit birégulier si les vecteurs $\vec{T}$ et $\frac{d\vec{T}}{ds}$ ne sont pas colinéaires.
\end{enumerate}
[/latex]