Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Séries PTSI + PTE

Q: Définir ce qu'est une série.
A: [latex]Soit $(u__n)_{_n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{N}$.\\
On appelle série de terme général $u_n$ la suite de sommes partielles $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ avec $\forall n \in\mathbb{N}$:
$S_n = \sum\limits_{k=0}^n u_k$[/latex]

Définir ce qu'est une série convergente.

Définir la notion de reste d'ordre n d'une série.

Définir ce qu'est une série qui diverge grossièrement.

Que peut-on dire de la suite associée à une série convergente.

Enoncer la propriété de linéarité des séries convergentes (respectivement divergentes).

Quel lien peut être établi entre suite convergente et série téléscopique ?

Q: [latex]Définir ce qu'est une série absolument convergente (i.e. qui converge absolument) \textbf{+ Théorème associé}.[/latex]
A: [latex]Théorème associé: Toute série absolument convergente converge.[/latex]

Enoncer la proposition d'inégalité triangulaire des séries absolument convergentes.

Enoncer la proposition de comparaison de séries.

Q: [latex]Enoncer la propriété de la série de référence $(\sum q^n)$ (i.e. série géométrique)[/latex]
A: [latex]$(\sum q^n)\;converge\iff|q|<1$ \\
Dans ce cas, $\sum\limits^{+\infty}_{n=0}q^n=\frac{1}{1-q}$[/latex]

Enoncer la propriété à propos de la série de Riemann (Critère de Riemann).

Enoncer la proposition constructive des représentation décimales.

Enoncer le théorème du développement décimal propre.

Q: Enoncer le théorème sur la décomposition décimal propre d'un rationnel.
A: [Latex]Soit $x\in\mathbb{R}$. Soit $(a_n)$ la décomposition décimale propre de x. \\ Alors: $x\in\mathbb{Q}\iff(a_n)$ est périodique à partir d'un certain rang.[/Latex]

Quelles inégalités d'intégrales peut-être utile dans le cadre des séries ?

Q: Donner une conditon nécessaire et suffisante de convergence pour une série.
A: [latex]$\sum u_n$ converge si et seulement si la suite $(S_n)$ des sommes partielles est majorée.[/latex]

Q: Enoncer le théorème de comparaison d'une série à une intégrale.
A: [latex]Soit $\alpha \in\mathbb{R}$, $n_0 \in\mathbb{N}$, $n_0 \geq \alpha$, soit $f$ une fonction continue décroissante, positive sur $[\alpha ;+\infty[$. Alors:\\
$\int_\alpha^{+\infty} f(t)dt$ et $\sum\limits_{n\geq n_0} f(n)$ sont de même nature.
%En cas de divergence, $\int_\alpha^nf(t)dt \mathop{\sim}\limits_{+\infty} \sum\limits_{k = n_0}^n f(k)$\\ \\
%En cas de convergence, $\int_{n+1}^{+\infty} f(t)dt \leq \sum\limits_{k=n+1}^{+\infty} f(k) \leq \int_n^{+\infty} f(t)dt$\\
%Démonstration à ajouter plus tard.[/latex]

Q: Enoncer le théorème de comparaison à une série de Riemann.
A: [latex]Soit $\sum u_n$ une série à termes positifs.\\
S'il existe $\alpha > 1$ tel que $\lim\limits_{n\to +\infty} n^\alpha u_n = 0$, $\sum u_n$ converge.\\
S'il existe $\alpha$ tel que $u_n \mathop{\sim}\limits_{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}$, $\sum u_n$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.[/latex]

Q: Enoncer le théorème des séries alternées.
A: [latex]Soit $(u_n)$ une suite réelle, \underline{décroissante, positive, qui converge vers 0}. \\
Alors, la série $\sum (-1)^n u_n$ converge et pour tout $n\in\mathbb{N}$, le reste $R_{n-1} = \sum\limits_{p=n}^{+\infty} (-1)^pu_p$ est du signe de $(-1)^n$ et $|R_{n-1}| \leq u_n$.\\
De plus, $\forall n \in\mathbb{N}, S_{2n+1} \leq S \leq S_{2n}$[/latex]

Q: Enoncer le théorème d'intégration terme à terme.
A: [latex]Soit $S:I \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. On suppose qu'il existe des fonctions $f_n:I\longrightarrow\mathbb{R}$ intégrables telles que:\\
$\forall t \in I, S(t) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} f_n(t)$.\\
Si la série $\sum\int_I |f_n(t)|dt$ est convergente, alors $S$ est intégrable sur $I$ et :\\
$\int_I S(t)dt = \int_I\sum\limits_{n=0}^{+\infty} f_n(t)dt = \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\int_I f_n(t)dt$[/latex]

Q: [latex]Définir le produit de Cauchy dans le cadre des séries.[/latex]
A: [latex]Soient $\sum a_n$,$\sum b_n$ deux séries à termes réels ou complexes. \\
Le produit de Cauchy de ces deux séries est la série $\sum c_n$, où:\\
$\forall n \in \mathbb{N}, c_n = \sum\limits_{k=0}^n a_k b_{n-k}$[/latex]

Q: [latex]Enoncer le théorème associé au produit de Cauchy.[/latex]
A: [latex]Si $\sum a_n$,$\sum b_n$ sont absolument convergentes, alors le produit de Cauchy $\sum c_n$ est absolument convergente et: \\
$\sum\limits_{n=0}^{+\infty} c_n = (\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n)(\sum\limits_{n=0}^{+\infty} b_n)$
où: $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$
[/latex]

Q: [latex]À quelle série $e^x$ est elle égale ?[/latex]
A: [latex]$\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$[/latex]

Q: [latex]Enoncer la règle d'Alembert.[/latex]
A: [latex]Soit $\sum u_n$ une série \underline{à termes non nuls} telle que $\lim\limits_{n\to +\infty} |\frac{u_{n+1}}{u_n}| = \lambda$.\\
Alors:
\begin{itemize}
\item Si $\lambda > 1$ ou si $\lambda = 1$ et $(|u_n|)$ est croissante, $\sum u_n$ diverge grossièrement.
\item Si $\lambda < 1$, $\sum u_n$ est absolument convergente.
\end{itemize}[/latex]

Q: [latex]Enoncer l'inégalité de Taylor-Lagrange.[/latex]
A: [latex]Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $(a,b) \in I^2$, et soit $f$ une fonction définie sur $I$ et à valeurs réelles ou complexes. On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$, et qu'il existe une constante $M$, indépendante de $t$, telle que:\\
$\forall t \in I, |f^{(n+1)}(t)| \leq M$. Alors:\\
$|f(b) - \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k| \leq \frac{M|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}$[/latex]

Q: [latex]Redémontrer rapidement comme en épreuve le théorème de comparaison d'une série à une intégrale.[/latex]
A: [latex]
On suppose $f$ décroissante,
Donc: $\forall t \in [|n, n+1|], f(n+1) \leq f(t) \leq f(n)$
Donc: $f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(t)dt \leq f(n)$
Puis: $\sum_{n=n_0}^N f(n+1) \leq \int_{n_0}^{N+1} f(t)dt \leq \sum_{n=n_0}^N f(n)$
[/latex]

Q: [latex]Pourquoi la série de terme général [/latex]
[latex]diverge ?[/latex]
A: [latex]
$\mathop{\sim}_{+\infty} \frac{1}{n}$, pas besoin d'aller plus loin.
[/latex]

Q: [latex]Quelles sont les différentes façons de calculer la valeur d'une série convergente ?[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Séries télescopiques
\item Séries géométriques
\item Plus rarement, encadrement
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il faire attention sur l'application du critère d'Alembert pour une série ?[/latex]
A: [latex]
On s'intéresse bien à $\lim\limits_{n \to \infty} |\frac{u_{n+1}}{u_n}|$, et non simplement à $|\frac{u_{n+1}}{u_n}|$.
Donc, dire que $\frac{n\pi}{(n+1)\pi} < 1 \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow$ la série de terme général converge est faux car $\frac{n\pi}{(n+1)\pi} \to 1$. Cette étude ne permet pas de conclure.
[/latex]

Q: [latex]Quelles sont les méthodes pour déterminer la nature d'une série ?[/latex]
A: [latex]
- majoration/minoration par une série de référence
- équivalence
- DL
[/latex]

Q: [latex]Que peut-on dire des séries géométriques dans $\mathbb{C}$ ?[/latex]
A: [latex]
Soit $\alpha \in \mathbb{C}$. $\sum \alpha^n$ converge si et seulement si $|\alpha | < 1$. Dans ce cas, on a:
$\mathop{\sum}\limits_{n = 0}^{+\infty} \alpha^n = \frac{1}{1 - \alpha}$.
[/latex]

Q: [latex]Je dois montrer la convergence d'une série. Qu'elles sont les options s'offrant à moi ?[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Minorer/majorer par une intégrale de référence
\item Comparaison avec une intégrale
\item Séries géométriques
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Quelle erreur courante fais-je sur le lemme d’Abel ?[/latex]
A: [latex]
On veut que la suite soit bornée et non convergente
[/latex]

Q: [latex]Enoncer parfaitement le théorème du produit de Cauchy dans le cadre des séries.[/latex]
A: [latex]
\underline{Hypothèses à vérifier}:
\begin{enumerate}
\item $\sum a_n$ et $\sum b_n$ absolument convergentes.
\end{enumerate}
\underline{Conséquences}
\begin{enumerate}
\item $\sum c_n$ absolument convergente
\item $\mathop{\sum}\limits_{n = 0}^{+\infty} c_n = (\mathop{\sum}\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n)(\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{+\infty} b_n)$
\end{enumerate}
où: $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$
[/latex]