Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Intégrales dépendant d'un paramètre

Q: [latex]Donner la proposition pour dire qu'une intégrale fonctions de ses bornes est définie.[/latex]
A: [latex]
Soit $I$ intervalle de $\mathbb{R}$; $a$ et $b \in \mathcal{C}^1(I,J)$.
Soit $f$ continue par morceaux sur $J$, alors $g(x) = \int^{b(x)}_{a(x)} f(t)dt$ est bien définie sur $I$.
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Q: [latex]Donner le théorème de continuité sous le signe $\int$.[/latex]
A: [latex]
Soient $A$ et $I$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f:(x,t) \mapsto f(x,t)$ une fonction définie sur $A \times I$, à valeurs dans $\mathbb{R}$:
On vérifie que:
\begin{itemize}
\item $\forall t \in I, x\mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$
\item $\forall x \in A, t\mapsto f(x,t)$ est continue sur $I$
\item \textbf{Hypothèse de domination}: $\exists h$ fonction de $t$ intégrable sur $J$ telle que:
$\forall x \in A, \forall t \in I, |f(x,t)| \leq h(t)$
\end{itemize}
Dans ce cas: $x \mapsto \int_I f(x,t)dt$ est continue sur $A$.
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Q: [latex]Enoncer le théorème de dérivabilité sous le signe $\int$.[/latex]
A: [latex]
Soient $A$ et $I$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f:(x,t) \mapsto f(x,t)$ une fonction définie sur $A \times I$, à valeurs dans $\mathbb{R}$:
On vérifie que:
\begin{itemize}
\item $\forall t \in I, x\mapsto f(x,t)$ est $\mathcal{C}^1$ sur $A$
\item $\forall x \in A, t\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $I$
\item $\forall x \in A, t\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue sur $I$.
\item \textbf{Hypothèse de domination}: $\exists h$ fonction de $t$ intégrable sur $I$ telle que:
$\forall x \in A, \forall t \in I, |\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)| \leq h(t)$.
\end{itemize}
Dans ce cas: $g(x) = \int_I f(x,t)dt$ est $\mathcal{C}^1$ sur $A$ et $\forall x \in A, g'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x} (x,t)dt$.
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