Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Analyse Asymptotique - PTSI

Q: Enoncer les 3 relations de comparaisons dans le cas des suites.
A: (Un) dominée par (Vn) si (Un/Vn) est bornée. Noté: Un = O(Vn)
(Un) négligeable devant (Vn) si (Un/Vn) -> 0. Noté: Un = o(Vn)
(Un) équivalente à (Vn) si Un/Vn ->1. Noté: Un ~ Vn

Q: Donner les résultats de croissance comparée pour les relations de comparaison.
A: changer le n en x pour avoir la relation en x->+infini:
   ln(n)^alpha = o(n^beta)
    n^alpha = o(e^beta*n)
pour les fonctions uniquement:
   ln(x) = o(1/x)_x->0

Déterminer un équivalent en +infini et en 0 de x|->P(x) où P est dans |R[X].

Développement limité en 0 de e^x

Développement limité en 0 de cos x

Développement limité en 0 de sin x

Développement limité en 0 de ch x

Développement limité en 0 de sh x

[latex]
Développement limité en $0$ de $(1+x)^{\alpha}$.
[/latex]

Développement limité en 0 de 1/1+x

[latex]Développement limité en $0$ de $\frac{1}{1-x}$[/latex]

Développement limité en 0 de ln(1+x)

Développement limité en 0 de ln(1-x)

Développement limité en 0 de arctan x

Développement limité en 0 de tan x

Donner les équivalents classiques au voisinage de 0 de:
 avec alpha dans |R

Q: Définir f admet un développement limité.
A: On dit que f admet un developpement limité en a à l'ordre n (DL_n(a)) si il exite (a_0,...,a_n) dans |R^n+1,

Donner la formule de Taylor-Young dans le cadre des développements limités.

Enoncer la proposition de la primitivation d'un développement limité.

Enoncer la proposition de la composition d'un développement limité.

Donner la proposition du prolongement par continuité dans le cadre du calcul asymptotique.

Enoncer la proposition de "linéarité" du développement limité.

Q: Que faut-il faire quand on n’a aucun point singulier et qu’on manque d’informations pour tracer une courbe paramétrée
A: On cherche les éventuels points d’inflexion: pour cela on calcule les dérivées successives ou bien on fait un DL. Ensuite on cherche à avoir une condition sur t pour que les vecteurs dérivée première 
(x’(t),y’(t)) et dérivée seconde 
(x’’(t),y’’(t)) soient colinéaires par exemple.

Donner les formules pour l’énergie électrique et magnétique pour former l’énergie électromagnétique.