Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Fonctions de plusieurs variables

Q: [latex]Définir mathématiquement, dans le cadre des fonctions à plusieurs variables, "$f$ admet une limite en $a$".[/latex]
A: [latex]
$\forall \epsilon \in \mathbb{R}, \exists  \delta \in \mathbb{R}_+^*, \forall x \in A, ||x - a|| < \delta \Rightarrow |f(x) - l| < \epsilon$
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Q: [latex]Définir la notion d'application partielle dans le cadre d'une fonction à 2 variables.[/latex]
A: [latex]
Pour tout réel $y$, on note $f_1$ l'application définie sur $A_1 = \{x \in \mathbb{R} (x,y) \in A \}$ par $f_1(x) = f(x,y)$.
Pour tout réel $x$, on note $f_2$ l'application définie sur $A_2 = \{y \in \mathbb{R}, (x,y) \in A\}$ par $f_2(y) = f(x,y)$.
On appelle ces application applications partielles.
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Q: [latex]Soit $f$ fonction à deux variables. Que déduit-on sur les applications partielles du fait que $f$ soit continue en $a = (x_0, y_0)$ ? \textbf{+ subtilité}[/latex]
A: [latex]
Si $f$ continue en $a = (x_0, y_0)$, alors les fonctions partielles sont continues respectivement en $x_0$ et $y_0$.
\textbf{Attention}, réciproque fausse.
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Q: [latex]L'image d'une partie fermée et bornée de $\mathbb{R}^p$...[/latex]
A: [latex]L'image d'une partie fermée et bornée de $\mathbb{R}^p$ par une fonction continue est fermée et bornée.[/latex]

Q: [latex]Enoncer le théorème des bornes atteintes dans le cadre des fonctions à plusieurs variables.[/latex]
A: [latex]
\textbf{Théorèmes des bornes atteintes}: Toute fonction réelle continue sur une partie fermée et bornée de $\mathbb{R}^p$ est bornée et atteint ses bornes.
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Q: [latex]Donner la méthode d'étude de la continuité (ou la non-continuité) d'une fonction à deux variables.[/latex]
A: [latex]
On commence par étudier la continuité sur toute la partie de l'ensemble de définition sur lequel s'appliquent les théorèmes généraux.
Ensuite, on étudie aux points problématiques. Deux méthodes sont possibles pour montrer qu'une fonction \textbf{est} continue:
- Si on étudie en $(0,0)$, ce qui est souvent le cas, on peut se ramener en coordonnées polaires en posant $x = \rho cos(\theta )$ et $y = \rho sin(\theta )$, puis on raisonne par majoration.
- Si on étudie en $(0,0)$ ou en n'importe quel autre point, on peut utiliser une majoration directe.
Pour montrer qu'une fonction \textbf{n'est pas} continue, on montre que deux types de couples $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ ne donnent pas la même limite en $a$ par $f$.
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Q: [latex]Définir la notion de dérivation suivant un vecteur dans le cadre des fonctions à plusieurs variables.[/latex]
A: [latex]
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}^p$. Soit $f \in \mathcal{F}(A, \mathbb{R})$. Soit $a$ un point intérieur de $A$, $h$ un vecteur de $\mathbb{R}^p$.
On dit que $f$ admet une dérivée en $a$ suivant le vecteur $h$ si la fonction, $\varphi_h(t) = f(a + th)$ est dérivable en $0$.
La dérivée de $f$ en $a$ suivant le vecteur $h$ est notée $D_h(f)(a) = \varphi'_h(0)$.
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[latex]Définir la notion de dérivabilité par rapport à la $k^e$ place dans le cadre des fonctions à plusieurs variables.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de fonction à plusieurs variables de classe $\mathcal{C}^1$.[/latex]
A: [latex]Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^p$. Lorsque toutes les dérivées partielles premières existent et sont continues sur $U$, on dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U$.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de gradient dans le cadre des fonctions à plusieurs variables.[/latex]
A: [latex]
Le gradient de $f$ est l'unique vecteur de $\mathbb{R}^p$ vérifiant la relation, pour tout $h\in\mathbb{R}^p$, $D_hf(a) = (grad_f(a)|h)$.
Ceci correspond à: $grad_f(a) = (\frac{\partial f}{\partial x}(a),\frac{\partial f}{\partial y}(a))$ si la fonction est à deux variables,
$grad_f(a) = (\frac{\partial f}{\partial x}(a),\frac{\partial f}{\partial y}(a), \frac{\partial f}{\partial z}(a))$ si la fonction est à trois variables.
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Q: [latex]Donner la notation pour le gradient de $f$.[/latex]
A: [latex]On note le gradient de $f$ en $a$: $\nabla f(a)$.[/latex]

Q: [latex]Enoncer le théorème de Taylor-Young à l'ordre 1 pour une fonction à plusieurs variables.[/latex]
A: [latex]Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U$ ouvert de $\mathbb{R}^p$, alors $f$ admet en tout point $a$ de $U$, un DL à l'ordre 1:
$f(a+h) =  f(a) + (\nabla f(a)|h) + o(||h||)$,
ainsi qu'une dérivée selon tout vecteur $h$ et pour $h = (h_1,...,h_p), D_hf(a) = (\nabla f(a)| h) = \sum_{i=1}^p h_i  \frac{\partial f(a)}{\partial x_i}$
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Q: [latex]Définir la notion de point critique en maths.[/latex]
A: [latex]i.e. $\nabla f(a) = 0_{\mathbb{R}^p}$[/latex]

Q: [latex]Enoncer le théorème de la règle de la chaine.[/latex]
A: [latex]$(\nabla f(\varphi(t))|\varphi'(t)) = \sum_{i = 1}^p \frac{\partial f}{\partial x_i} (\varphi(t))u_i'(t)$[/latex]

[latex]Définir la notion de dérivée seconde dans le cadre des fonctions à deux variables.[/latex]

Q: [latex]Enoncer le théorème de Schwartz.[/latex]
A: [latex]
Si $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^p$, alors: $\forall i,j \in [|1, p|], \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial y_i} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$
Autrement dit, l'ordre des dérivation est indifférent.
Conséquence: il n'y a donc que trois dérivées partielles secondes distinctes pour une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$.
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[latex]Définir la notion d'applications coordonnées pour une fonction de $\mathbb{R}^p$ vers $\mathbb{R}^n$.[/latex]

[latex]Enoncer la proposition d'existence de dérivées partielles pour une fonction de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^n$.[/latex]

Q: [latex]Enoncer la proposition de dérivation de fonctions composées dans le cadre d'une fonction à deux variables.[/latex]
A: [latex]
Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^2$. Soit $f$ fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}^2$ à valeur dans $\mathbb{R}$.
Soient, $x$ et $y$ deux fonctions de classe $C^2$ sur $U$, à valeurs dans $\mathbb{R}$.
Alors, la fonction $g:U \to \mathbb{R}, (u,v) \mapsto f(x(u,v), y(u,v))$ est de classe $C^2$ sur $U$.
On note $h:U \to \mathbb{R}^2, (u,v) \mapsto x(u,v),y(u,v)$
Alors:
$\frac{\partial g}{\partial u} (u,v) = (\nabla f(h(u,v))|\frac{\partial h}{\partial u}(u,v))$
$\frac{\partial g}{\partial v} (u,v) = (\nabla f(h(u,v))|\frac{\partial h}{\partial v}(u,v))$
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Q: [latex]Définir la notion de point régulier pour une courbe définie à l'aide d'une fonction à deux variables.[/latex]
A: [latex]
On considère la courbe du plan $C$ d'équation $f(x,y) = 0$.
On appelle point régulier de la courbe tout point $M(a,b)$ tel que $\nabla f(a,b) \neq (0,0)$, il est dit stationnaire ou régulier sinon.
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Q: [latex]Comment définit-on une courbe à l'aide d'une fonction à deux variables ?[/latex]
A: [latex]On consière la courbe du plan $C$ d'équation $f(x,y) = 0$.[/latex]

Q: [latex]Enoncer le théorème des fonctions implicites.[/latex]
A: [latex]
Soit $M$ pt régulier de $C$.
Si $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \neq 0$:
il existe une unique fonction de classe $C^k$ tq: $\forall (x,y) \in I \times J, f(x,y) = 0 \iff y = \phi(x)$
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Q: [latex]Dans le cadre d'une courbe d'une fonction à deux variables, que peut-on dire de la tangente en un point $M(a,b)$ ?[/latex]
A: [latex]
Soit $M(a,b)$ un point régulier de la courbe $C$. La tangente à la courbe $C$ en $M$ est dirigée par le vecteur de coordonnées $(-\frac{\partial f}{\partial y}(a,b), \frac{\partial f}{\partial x}(a,b))$
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Q: [latex]Définir la notion de normale à une courbe.[/latex]
A: [latex]Soit $M$ un point régulier de la courbe. On appelle normale à $C$ en $M$ la droite passant par $M$ et perpendiculaire à la tangente en $M$ à $C$.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion de ligne de niveau.[/latex]
A: [latex]
On appelle ligne de niveau associée à la fonction $f$ toute courbe d'équation $f(x,y) = \lambda$, où $\lambda \in \mathbb{R}$.
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Q: [latex]Enoncer la proposition associée aux lignes de niveau.[/latex]
A: [latex]
En un point où il est non nul, le gradient de $f$ est orthogonal aux lignes de niveau $f(x,y) = \lambda$ et orienté dans le sens des valeurs croissantes de $f$.
Soit $M$ un point régulier de la courbe d'équation $f(x,y) = \lambda$. Le gradient de $f$ en $M$ dirige la normale en $M$ à la ligne de niveau $\lambda$.
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[latex]Donner la formule consécutive au théorème de Taylor-Young pour la dérivation d'une fonction à plusieurs variables.[/latex]

Q: [latex]Définir la notion d'application changement de variable.[/latex]
A: [latex]
Une application $\varphi$ est un changement de variable de $\mathbb{U}$ si:
- $U$ ouvert de $\mathbb{R}^n$
- $\varphi$ est $C^1(U)$
- $\varphi$ bijection de $U$ vers $\varphi(U)$ et $\varphi^{-1}$ est $C^1(\varphi(U))$
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Q: [latex]
Donner l'application changement de variable qui permet de passer en coordonnées polaires (maths).
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A: [latex]
$\varphi : \left\{\begin{matrix}
\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^*_+ \times ]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} [\\
(x,y) \mapsto (\sqrt{x^2 + y^2}, arctan(\frac{y}{x}))
\end{matrix}\right.$\\
$\varphi^{-1} : \left\{\begin{matrix} \mathbb{R}^*_+ \times ]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} [ \longrightarrow \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R} \\
(x,y) \mapsto (\rho cos(\theta), \rho sin(\theta))
\end{matrix}\right.$
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[latex]Donner la moralité de la démonstration de la continuité de cette fonction en $(0,0)$.[/latex]

Q: [latex]Quel est le nom du théorème qui permet de dire qu'une fonction continue sur un ensemble borné admet un maximum et un minimum (y compris fonctions à plusieurs variables) ?[/latex]
A: [latex]Théorème des bornes atteintes.[/latex]

[latex]Définir la notion de fonctions coordonnées.[/latex]