Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Géométrie analytique

Q: [latex]Donner le produit scalaire en géométrie analytique[/latex]
A: [latex]En géométrie, on utilise le produit scalaire usuel, mais on peut aussi l’utiliser sous une autre forme:
$\vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}||||\vec{v}||cos(\vec{u},\vec{v}) = \sum_{k=0}^n u_i v_i$
[/latex]

Q: [latex]Définir le produit mixte à deux vecteurs dans le cadre de la géométrie analytique[/latex]
A: [latex] $ [\vec{u},\vec{v}] = ||\vec{u}||||\vec{v}|| sin( \vec{u},\vec{v}) $ [/latex]

Q: [latex]Qu’appelle-t-on déterminant dans le cadre de la géométrie analytique ?[/latex]
A: [latex]Le produit mixte $[\vec{u},\vec{v}] = ||\vec{u}||||\vec{v}|| sin( \vec{u},\vec{v})$ est le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans toute base orthonormée directe du plan. On le note aussi $Det(\vec{u},\vec{v} )$. [/latex]

Q: [latex]Définir la notion de direction d’une droite en géométrie analytique[/latex]
A: [latex] On appelle direction d’une droite dans le plan le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur directeur de la droite[/latex]

[latex]Démontrer (ce n'est pas une démonstration de cours mais bien un raisonnement à savoir refaire rapidement et souvent: ne pas sauter la carte)[/latex]

[latex]Supposons que le plan est euclidien et le repère orthonormé.
Soit $D$ droite passant par $A(x_0,y_0)$ de vecteur normal $\vec{v}(a,b)$:
Établir l’équation cartésienne de $D$.[/latex]

Q: [latex]Définir mathématiquement dans l’espace: D une droite et P un plan sont parallèles.[/latex]
A: [latex] On dit qu’une droite et un plan de l’espace sont parallèles si la direction de $D$ est incluse dans la direction de $P$[/latex]

Démontrer (ne pas sauter la carte !):

Q: [latex]Soit $P$ et $P'$ deux plans d'équations cartésiennes:
$P: ax + by + cz + d = 0$
$P': a'x + b'y + c'z + d' = 0$.
Définir:
-$P$ et $P'$ sont perpendiculaires + donner la condition mathématique.
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A: [latex]
On dit que $P$ et $P'$ sont perpendiculaires si $\vec{P}^\perp$ et $\vec{P'}^\perp$ sont orthogonaux.
De plus: $\vec{P} = Vect((a,b,c))$ et $\vec{P'} = Vect((a', b', c'))$.
Donc: $P$ orthogonal à $P'$ $\iff aa' + bb' + cc' = 0$.
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Q: [latex]Donner la formule de la distance dans le plan de deux points.[/latex]
A: [latex]Soit $A(x_A, y_A), B(x_B, y_B)$, la distance $AB$ est $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$[/latex]

Q: [latex]Donner les deux formules dans le plan de la distance d'un point à une droite.[/latex]
A: [latex]
1)
Soit $D$ la droite d'équation $ax + by + c = 0$ et $A(x_A, y_A)$.
$d(A,D) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$\\\\
2)
Soit $D$ la droite passant par $B$ et dirigée par $\vec{u}$:
$d(A,D) = \frac{|Det(\vec{AB}, \vec{u})|}{||\vec{u}||}$
[/latex]

Q: [latex]Donner les formules de distance d'un point à une droite \textbf{dans l'espace}.[/latex]
A: ET

Q: [latex]Définir médiatrice, médiane, bissectrice. + points remarquables associés + point où se rencontrent les hauteurs .[/latex]
A: Médiatrice:
Médiane:
Bissectrice:

Q: [latex]Enoncer la proposition de caractérisation d'un parallélogramme.[/latex]
A: [latex]Un quadrilatère $(ABCD)$ est un parallélogramme $\iff$ ses diagonales se coupent en leur milieu.[/latex]

Q: [latex]Donner l'équation cartésienne d'un cercle.[/latex]
A: [latex]$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$[/latex]

Q: [latex]Comment peut-on définir un cercle à partir d'un de ses diamètres délimité par deux points connus ?[/latex]
A: [latex]L'ensemble des points $M$ vérifiant $\vec{MA}.\vec{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.[/latex]

Q: [latex]Donner l'équation cartésienne d'une sphère.[/latex]
A: [latex]$(x-a)^2 + (y - b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ où $(a,b,c)$ est le centre de la sphère et $R$ son rayon.[/latex]

Q: [latex]A quoi faut-il faire attention avant de dire qu'une équation cartésienne est celle d'une sphère/d'un cercle ?[/latex]
A: [latex]Il faut faire attention à vérifier que le rayon $R \geq 0$.
S'il est nul, ce n'est qu'un point, s'il est inférieur à 0 c'est l'ensemble vide.[/latex]

[latex]Définir la notion d'enveloppe d'une famille de droite en mathématiques.[/latex]

[latex]Enoncer le théorème qui permet d'obtenir l'enveloppe d'une courbe du plan dans le cadre de la géométrie analytique.[/latex]

Q: [latex]
Notons $z'$ et $z''$ les affixes respectives des points $A$ et $B$.
Déterminer l'affixe du point $C$ tel que $ABC$ soit équilatéral direct.
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A: [latex]
- La première chose à savoir est que dire que $ABC$ est équilatéral direct, c’est dire que $\vec{AC}$ est l’image de $\vec{AB}$ par la rotation vectorielle d’angle $\frac{\pi}{3}$.
- Cela s'écrit, en notant $z$ l'affixe de $C$, $z = z' + e^{i\pi /3} (z'' - z')$.
\textit{On en tire $z = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{2} + \frac{4 + \sqrt{3}}{2}i$}.
[/latex]

Q: [latex]Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé...[/latex]
A: [latex]Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il faire attention pour déterminer l'enveloppe d'un ensemble de droites ?[/latex]
A: [latex]
Il faut bien dire que $\frac{d(A(t) + \lambda (t)\vec{u(t)})}{dt}$ et $\vec{u}(t)$ sont colinéaires et non $\frac{d(A(t) + \lambda (t)\vec{u(t)})}{dt}$ et $\vec{u'}(t)$
[/latex]

Q: [latex]Comment s'appelle la transformation géométrique qui permet d'agrandir ou de rétrécir une figure en respectant toutes ses proportions ?[/latex]
A: [latex]
Homothétie: $f:x \mapsto kx$
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Q: [latex]Quels sont les éléments qui définissent une homothétie ?[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Un centre
\item Un rapport
\end{enumerate}
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