Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Révisions d'analyse
Tags: congrue sin(x) sin(y) égalité

Q: sin x = sin y <=> ...
A: x ≡ y [2pi] ou x ≡ pi - y [2pi]

Q: [latex]Donner la formule de Taylor pour les polynômes.[/latex]
A: Soit a dans |K. Soit P dans |K[X].
les n sont des k

Q: [latex]Compléter: \\
$2cos(a)cos(b) = $ \\
$2sin(a)sin(b) = $\\
$2sin(a)cos(b) = $[/latex]
A: [latex]$2cos(a)cos(b) = cos(a+b)+cos(a-b)$ \\
$2sin(a)sin(b) = cos(a-b)-cos(a+b)$\\
$2sin(a)cos(b) = sin(a+b)+sin(a-b)$[/latex]

Q: [latex]Compléter:\\
$cos(a) + cos(b) =$\\
$cos(a) - cos(b) =$\\
$sin(a) + sin(b) =$\\
$sin(a) - sin(b) =$[/latex]
A: [latex]$cos(a) + cos(b) = 2cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})$\\
$cos(a) - cos(b) = -2sin(\frac{a+b}{2})sin(\frac{a-b}{2})$\\
$sin(a) + sin(b) = 2sin(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})$\\
$sin(a) - sin(b) = 2sin(\frac{a-b}{2})cos(\frac{a+b}{2})$[/latex]

Q: [latex]Donner la formule de factorisation de $1 \pm e^{it}$[/latex]
A: [latex]$1 + e^{it}² = 2e^{i\frac{t}{2}}cos(\frac{t}{2})$ \\
$1 - e^{it} = -2ie^{i\frac{t}{2}}sin(\frac{t}{2})$[/latex]

Q: Enoncer le théorème des bornes atteintes
A: [latex]Soient $a$ et $b$ deux nombres réels vérifiant $a\leq b$. Si $f$ une fonction continue sur $[a;b]$, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes[/latex]

Q: Enoncer le théorème de la bijection continue
A: [latex]Soit $f$ continue \underline{strictement monotone} sur $I$. Alors, $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$ qui est un intervalle de même nature que $I$, dont les bornes sont les limites de $f$ aux bornes de $I$.[/latex]

Q: [latex]Quelle propriété a-t-on sur l'allure de la courbe représentatrice de $f^{-1}$ si $f$ continue strictement monotone?[/latex]
A: [latex]Soit $f$ continue strictement monotone sur $I$, alors sa bijection réciproque $f^{-1}$ est une fonction continue sur $f(I)$ et est strictement monotone, de même monotonie que $f$. \\
De plus la courbe représentative de $f^{-1}$ se déduit de celle de $f$ par la symétrie par rapport à la droite d'action $y=x$.[/latex]

Q: [latex]Comment démontre-t-on $\forall x > 0, \frac{x}{1+x^2} \leq arctan(x) \leq x$ ?[/latex]
A: [latex]\begin{enumerate}
\item Soit $f:x\mapsto arctan(x)$, \underline{Donc}, $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$
\item \underline{or}, $\forall t \in [0; x], 1 \leq 1+t^2 \leq 1+x^2$
\item \underline{Donc}, $\forall t \in [0; x], \frac{1}{1+x^2} \leq \frac{1}{1+t^2}\leq 1$
\item \underline{Donc}, par théorème des accroissement finis, en prenant $m = \frac{1}{1+x^2}$ et \\ M = 1, $\frac{x}{1+x^2} \leq arctan(x) \leq x$
\end{enumerate}[/latex]

Compléter:

Q: [latex]Quelle propriété peut-il être utile d'utiliser pour démontrer des inégalités en lien avec la dérivation ?[/latex]
A: [latex]Par exemple, pour montrer que $\forall x \in [0, \frac{\pi}{2}], \frac{2}{\pi}x \leq sin(x) \leq x$, on utilise le fait que la dérivée seconde de sin(x) soit négative sur cet intervalle, donc la fonction est concave et sa courbe est placée \underline{en-dessous de ses tangentes} et \underline{au-dessus de ses cordes}.\\\\
La tangente en $0$ est la droite d'équation $y=x$ donc $\forall x \in [0, \frac{\pi}{2}], sin(x)\leq x$.\\
La corde en $A(0,0)$ et $(\frac{2}{\pi},1)$ est la droite d'équation $y = \frac{2}{\pi}x$ donc $\forall x \in[0,\frac{\pi}{2}], \frac{2}{\pi}x \leq sin(x)$[/latex]

Q: Quel propriété permet, à partir de la connaissance des degrés de deux polynômes et de quelques valeurs, de montrer leur égalité ?
A: [latex]Si deux polynômes $P$ et $Q$ de degré inférieur ou égal à $p$ prennent les mêmes valeurs pour $p+1$ valeurs de la variable $x$, alors ils sont égaux.[/latex]

Q: [latex]Exercice type: Enoncer la méthode de résolution de l'exercice suivant:\\
Linéariser $sin^4(x)cos^2(x)$.
[/latex]
A: [latex]On utilise la formule d'Euler: $sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$, pareil pour $cos$ puis on développe et on réduit et c'est dans la poche.[/latex]

Q: [latex]Exercice type: Enoncer la méthode de résolution de l'exercice suivant:\\
Résoudre $cos(2x)-cos(4x) = 2sin(3x)$
[/latex]
A: [latex]On applique la formule $cos(a)-cos(b) = -2sin(\frac{a+b}{2})sin(\frac{a-b}{2})$ puis on utilise notre cerveau pour déterminer les valeurs qui marchent ou non.[/latex]

Q: [latex]Exercice type: Enoncer la méthode de résolution de l'exercice suivant:\\
Soit $f$  une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle $I$ et $a\in I$. Calculer:\\
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(a+h)+f(a-h) -2f(a)}{h^2}$
[/latex]
A: [latex]Pour faire cela, on applique la formule de Taylor Young à $f(a+h)$ et $f(a-h)$.\\
Attention cependant ! Le résultat n'est pas si évident, il faut bien bien se ramener à la définition:\\
$f(a+h) \mathop{=}\limits_{0} f(a) + hf'(a) + \frac{h^2}{2} f''(a) + o(h^2)$\\
$f(a-h) \mathop{=}\limits_{0} f(a) - hf'(a) + \frac{(-h)^2}{2} f''(a) + o((-h)^2)$\\\\
Donc en sommant: $f(a+h) + f(a-h) \mathop{=}\limits_{0} 2f(a) + h^2 f''(a) + o(h^2)$\\
Donc $\frac{f(a+h)+f(a-h) -2f(a)}{h^2} \mathop{=}\limits_{0} f''(a) + o(1)$, la limite demandée est $f''(a)$[/latex]

Q: [latex]Quelle est la méthode pour montrer qu'une fonction est un endomorphisme ?[/latex]
A: [latex]Pour montrer qu'une fonction $f:E\to E$ est un endomorphisme:
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une appplication linéaire.
\item Montrer que tout élément de $E$ donne un élément de $E$ à travers $f$.
\end{enumerate}[/latex]

Q: [latex]Donner la méthode employant les matrices pour déterminer le rang d'un endomorphisme.[/latex]
A: [latex]Attention, on ne fait ça qu'après avoir montré qu'on avait un endormorphisme !:
\begin{itemize}
\item Déterminer la matrice représentatrice de la fonction dans une base à déterminer.
\item Obtenir la matrice échelonnée réduite équivalente. Le rang de la matrice correspond au nombre de pivots \underline{non nuls} de cette matrice.
\end{itemize}[/latex]

Q: [latex]$tan(a+b) = ?$[/latex]
A: [latex]$tan(a+b) = \frac{tan(a)  + tan(b)}{1 - tan(a)tan(b)}$[/latex]

Q: [latex]Donner 4 façons différentes d'obtenir l'inégalité:
$\forall n \in \mathbb{N}, \forall a \geq 0, (1 + a)^n \geq 1 + na$
\textit{On se servira de ce résultat comme liste non exhaustive des façons d'obtenir une inégalité}.
[/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item Par récurrence sur $\mathbb{N}$.
\item En fixant $n$ quelconque, étudier les variations de $x\mapsto (1 + x)^n - 1 - nx$ sur $\mathbb{R}^+$.
\item À l'aide de la formule du binôme de Newton: les deux premiers terme des la somme sont $ 1+ na$, les autres termes sont positifs grâce au fait que $a\geq 0$.
\item En appliquant l'inégalité des accroissements finis à $f: x \mapsto (1+x)^n$ entre les points $0$ et $a$. Vérifier les hypothèses; en particulier $f'$ est minorée par $n$ (et majorée par $n(1+a)^{n+1}$) sur $]0, a[$, donc $n(a-0) \leq f(a) - f(0)$, (l'autre inégalité ne sert pas) ce qui donne l'inégalité recherchée.
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]À quoi faut-il être vigilent avec les formules d'euler ?[/latex]
A: [latex]
Les formules d'Euler sont valables dans le cadre des complexes ! Il y a donc bien un $i$ (ou un $j$ en physique dans la formule):
$cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$
Sinon ça fait un cosionus hyperbolique.
[/latex]

Q: [latex]Quel est le nom du théorème permettant de faire le lien entre une intégrale et sa dérivée ?[/latex]
A: [latex]
Le théorème fondamental de l'analyse.
[/latex]

Q: [latex]Enoncer la propriété sur l'égalité de deux $cos$.[/latex]
A: [latex]
$cos(a) = cos(b) \iff \begin{matrix}a \equiv b [2\pi] \\ ou \\ a \equiv -b [2\pi] \end{matrix}$
[/latex]

Q: [latex]Enoncer la propriété d'égalité de deux $sin$.[/latex]
A: [latex]
$sin(a) = sin(b) \iff \begin{matrix}a \equiv b [2\pi] \\ ou \\ a \equiv \pi - b [2\pi] \end{matrix}$
[/latex]