Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Espaces Vectoriels - PTSI

Définir la notion de sous-espace vectoriel.

Définir la notion de sous-espace vectoriel engendré par X.

Q: Définir la somme d'espaces vectoriels. + propriété associée en rapport avec les sous espaces vectoriels engendrés.
A: Soient F et G deux sev de E,
On défini la somme de F et G et l'on note F+G l'ensemble F+G = {f+g|f dans F et g dans G}
De plus: Pp9:
Vect(F union G)= F+G. En particulier, F+G sev de E

Définir la notion de famille libre / famille liée.

Enoncer le théorème de la base extraite.

Enoncer le théorème de la base incomplète

Définir la notion de base dans le cadre des espaces vectoriels et donner le théorème associé.

définir la notion de famille génératrice.

Définir la notion de K-ev de dimension finie.

Définir ce qu'est le rang d'une famille de vecteurs.

Enoncer le théorème associé à la dimension d'un sous-espace vectoriel

Enoncer la formule de Grassman

Donner la proposition liée à l'existence d'un supplémentaire dans le cadre des espaces vectoriels

Donner la proposition en rapport avec la dimension d'une somme directe

Q: Comment démontre-t-on qu'une famille est une base d'un ev ?
A: [latex]Option 1: Montrer libre + génératrice. \\
Option 2: Si le cardinal de la famille est égal à la dimention de l'espace vectoriel considéré, alors il suffit de montrer qu'elle est libre.[/latex]

Q: Quelle proposition est utile pour montrer qu'une somme est directe ?
A: [latex]$F\cap G = \{0_E\} \iff \forall w \in F+G, \exists ! u \in F, \exists !v \in G, w = u+v$\\
$F\cap G = \{0_E\} \Rightarrow F \oplus G$[/latex]

[latex]Définir la notion de somme directe.[/latex]

Q: [latex]Quelle proposition permet, en revenant à la définition, de démontrer que la somme de $E_1,...,E_n$ sev est directe ?[/latex]
A: [latex]
On dit que la somme est directe si la décomposition en somme est unique.\\
Ainsi, pour démontrer qu'une somme de $n$ sev est directe, on montre que la décomposition en somme est unique $\iff$ la décomposition de $0_E$ est unique.
[/latex]