Title: PTE / Mathématiques / Mathématiques - Dérivation - PTSI

Q: Donner la formule de Leibniz.
A: [latex]
Soit $n \in \mathbb{N}$, $g:I \to \mathbb{R}$ de classe $C^n(I)$.
Alors $fg$ est $C^n(I)$ et on a:
$(fg)^{(n)} = \mathop{\sum}\limits_{k = 0}^n \left(\begin{matrix} n\\k \end{matrix}\right) f^{(k)}g^{(n-k)}$
[/latex]

Q: Définir la dérivation + proposition associée.
A: De plus, f dérivable en a ssi:
-f dérivable à gauche de a
-f dérivable à droite de a
-f'(a^-)=f'(a^+)

Q: Enoncer le théorème de Rolle.
A: [latex]Soient a et b deux réels tq a<b et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.\\
\underline{Donc,} $f(a)=f(b) \Rightarrow \exists c \in ]a,b[, f'(c)=0$ [/latex]

Q: Enoncer l'égalité et l'inégalité des accroissement finis
A: [latex]Soit $(a,b)\in\mathbb{R},a<b$ et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$, continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.\\\underline{Alors,} $\exists c \in ]a,b[, f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$ (égalité)\\
\underline{Aussi,} ($\exists (m,M)\in\mathbb{R}^2,x\in ]a,b[, m \le f'(x) \le M$) $\Rightarrow$ ($m(b-a)\le f(b)-f(a) \le M(b-a)$) (Inégalité)\\
\underline{En particulier,} $|f(b) - f(a)|\le M(b-a)$[/latex]