Title: PTSI / Mathématiques / Mathématiques - Nombres Complexes

Q: Re(z) = ? // Im(z) = ? (formule à partir des conjugués)
A: Re(z) = (z+z_barre)/2 // Im(z) = (z-z_barre)/2i

Q: z réel ? z réel imaginaire pure <=> ??  (à l'aide des conjugués)
A: z est réel <=> z = z_barre
z dans iR (imaginaire pur) <=> z = -z_barre

Q: Citer la proposition de l'Inégalité Triangulaire.
A: |z+w| <= |z| + |w| (avec égalité si z = 0 ou w = 0)

Q: Qu'est-ce que l'ensemble U ?
A: L'ensemble des nombres complexes de module 1

Q: Comment est défini U ?
A: U = {exp(i*teta) | teta réel}

Q: Linéariser cos^3sin^2 (la réponse sera donnée en retournant la carte)
A: -1/16 * cos(5x) -1/16 * cos(3x) + 1/8 * cos(x)

Q: Linéariser cos(4x)
A: 8 cos(x)^4 - 8 cos(x)^2 + 1

Q: Formule pour la somme des termes d'une suite géométrique.
A: Sn = (1-r^nbrdetermes)/(1-r)

Q: Savoir obtenir une racine carrée complexe. (sachant qu'un nbr complexe en possède toujours 2 !)
Exemple:
Obtenir la racine carrée de 1+i de deux manières différentes.
A: Soit on remarque 1+i = racine(2)e^i*pi/4
Soit on résoud de façon habituelle (cf cours).
Dans tous les cas on trouve racine(racine(2))*e^i*pi/8 et -racine(racine(2))*e^i*pi/8

Q: Savoir résoudre des équations du second degré dans C.
A: cf cours

Q: Donner les relations coefficient/racines.
A: z1+z2 = -b/a
z1*z2 = c/a

Q: Savoir résoudre z^n = a (px où a = (1-i)/(1+iracine(3)) et n = 8) ou exemple du livre 1+i ou exo du td
A: cf cours. formule : ((e((1/n)ln(r)) * e(iteta/n))^n
formule du livre plus directe:
Zk={r^1/ne^i(teta/n + 2kpi/n) | k dans [|0,n-1|]}
solution de l'exo: