Title: PTSI / Mathématiques / Mathématiques - Arithmétique

Q: Démontrer que 1/10 est dans D mais pas dans Z et que 1/3 est dans Q mais pas dans D
A: cf cours

Q: Démontrer le théorème de la division euclidienne dans N
A: cf cours

Q: Démontrer le théorème d'Euclide.
A: cf cours

Q: Démontrer l'homogénéité du PPCM et du PGCD
A: cf cours

Q: Théorème fondamental de l'arithmétique.
A: Soit n >= 2. Alors il existe r dans N*, et p1,...,pr des nombres premiers 2 à 2 distincts et a1,...,ar des entiers non nuls tels que:
n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pr^ar
Cette décomposition est unique à l'ordre près des facteurs.

Q: Méthode: utiliser la décomposition en facteurs premiers pour déterminer pgcd(a,b)
A: on peut écrire:
N = p1^a1 * p2^a2 * ... * pr^ar
M = p1^b1 * p2^b2 * ... * pr^br
Alors, pgcd(a,b) = p1^min(a1,b1) * p2^min(a2,b2) * ... * pr^min(ar,br)