Title: PTSI / Mathématiques / Mathématiques - Variables aléatoires

Q: Définir la notion de variable aléatoire.
A: [latex]Une variable aléatoire est une application de $\Omega$ sur E où E est un ensemble. \\ Si $E=\mathbb{R}$, on dit que la variable aléatoire est réelle. \\ Si $E=\mathbb{N}$, on dit que la variable aléatoire est discrète.[/latex]

Q: [latex]Soit $X:\Omega\rightarrow E$ une variable aléatoire.\\ Soit $A\in P(E)$. \\ Définir l'événement $[X\in A]$[/latex]
A: [latex]On appelle l'événement $[X\in A]$ ou encore ${X\in A}$ l'ensemble $X^{-1}(A)$. \\ Soit $x\in E$, on note: $$[X=x]=X^{-1}({x})$$[/latex]

[latex]Soit $X:\Omega\rightarrow E$ une variable aléatoire sur $\Omega$. Définir la loi de X.[/latex]

Enoncer la proposition sur la loi de X une va.

Definir la notion d'image d'une variable aléatoire par une fonction.

Definir la notion de loi uniforme.

Définir la notion de loi de Bernoulli.

Définir la notion de loi binomiale.

Définir la notion de couple de variables aléatoire.

Enoncer la proposition sur les couples de variables aléatoires.

Q: Définir la notion de loi conjointe et de loi marginale.
A: Soient X et Y deux va, on appelle loi conjointe de X et Y la loi du couple (X, Y).
Soit Z = (X, Y) un couple de va. On appelle lois marginales de Z les lois de chaque composante de Z (X et Y).

Enoncer le théorème sur les sommes de Bernoulli.

Définir l'espérance d'une variable aléatoire.

Enoncer le théorème de transfert.

Définir la variance.

Donner les propositions sur l'espérence des différentes lois usuelles.

Enoncer la proposition de Koenig-Huygens.

Q: Enoncer l'inégalité de Markov.
A: [latex]Soit Z une v.a. réelle, $Z >0$. \\
$$\forall a \in \mathbb{R}^{2}, \mathbb{P}(Z\geq a)\le \frac{\mathbb{E}[Z]}{a}$$[/latex]

Enoncer l'inégalité de Bienaymé-Thebychev.

Enoncer les variances usuelles.