Title: PTSI / Mathématiques / Mathématiques - Géométrie dans l'espace

Q: Définir deux vecteur colinéaires.
A: Soient [$]\vec{u}[/$] et [$]\vec{v}[/$] deux vecteurs de l'espace.
[$]\vec{u}[/$] et [$]\vec{v}[/$] sont dits colinéaires si,
[$]\vec{u}=\vec{0}[/$] ou [$]\exists\lambda\in\mathbb{R},\vec{v}=\lambda\vec{u}[/$]

Q: Définir la norme d'un vecteur dans l'espace.
A: Soit [$]\vec{u}(a,b,c)[/$]. On appelle norme de [$]\vec{u}[/$]:
[$]||\vec{u}|| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}[/$]

Q: Enoncer le lemme sur la colinéarité dans l'espace à partir du produit mixte.
A: où: [$]\left\vert \begin{array}{c}
    x_1\:x_2 \\
    y_1\:y_2
    \end{array} \right\vert = [(x_1,y_1),(x_2,y_2)]=x_1y_2-x_2y_1[/$]

Q: Soient u et v deux vecteurs de l'espace. Quelle relation existe entre ||u||,||v||,[$]u \wedge v[/$] et u.v ?
A: [$](||\vec{u}||||\vec{v}||)^2 = ||\vec{u}\wedge\vec{v}||^2 + (\vec{u}.\vec{v})^2[/$]

Enoncer l'inégalité de Cauchy-Schwartz dans l'espace.

Définir le produit mixte dans l'espace.

Q: Quel est le lien entre coplanarité et produit mixte dans l'espace ?
A: [$]\vec{u},\vec{v}\;et\;\vec{\omega}\;coplanaires\iff[\vec{u},\vec{v},\vec{\omega}]=0[/$]

Définir ce qu'est une droite de l'espace (définition par produit vectoriel).

Définir ce qu'est un plan de l'espace.

Q: Définir ce qu'est un vecteur normal à un plan de l'espace.
A: On dit que n est un vecteur normal à un plan [$]P=A+Vect(\vec{u},\vec{v})[/$] si, [$]\vec{n}.\vec{u}=\vec{n}.\vec{v}=0[/$]

Enoncer la proposition sur la distance d'un point M de l'espace à un plan passant par A et dirigé par les vecteurs u_1 et u_2. (à l'aide des produits vectoriels/mixtes)

Enoncer la proposition de la distance d'un point M quelconque de l'espace à une droite D passant par A et dirigée par le vecteur u.

Enoncer la proposition sur la distance d'un point M de l'espace à un plan dont on connaît l'équation cartésienne.

Donner la proposition sur l'équation cartésienne d'un plan de l'espace. En particulier, parler du vecteur normal à ce plan.

Comment calcule-t-on le produit scalaire à partir des coordonnées de deux vecteurs de l'espace ?

Q: [Latex]Déchiffrer la notation: $\left\vert \begin{array}{c}
    x_1\:x_2 \\
    y_1\:y_2
    \end{array} \right\vert$ dans le cadre de la géométrie dans l'espace.[/Latex]
A: [Latex]$\left\vert \begin{array}{c}
    x_1\:x_2 \\
    y_1\:y_2
    \end{array} \right\vert = [(x_1,y_1),(x_2,y_2)]=x_1y_2-x_2y_1$[/Latex]

Q: Enoncer la formule pour le calcul du produit mixte entre trois vecteurs de l'espace dans le cadre de la géométrie dans l'espace. + moyen mnémotechnique
A: [Latex]\underline{Moyen mnémotechnique:} \\
On écrit: $\left\vert \begin{array}{c}
    x_1\:x_2\:x_3 \\
    y_1\:y_2\:y_3 \\
z_1\:z_2\:z_3
    \end{array} \right\vert = [\vec{u},\vec{w},\vec{v}]$ \\
\underline{Puis}, pour chacune des composantes, on barre la ligne et la colonne correspondante. \\
Cela permet d'obtenir une somme de produit mixtes à deux vecteurs multiplié par chaque composante \\
\underline{Alors,} on obtient l'égalité: \\
$\left\vert \begin{array}{c}
    x_1\:x_2\:x_3 \\
    y_1\:y_2\:y_3 \\
z_1\:z_2\:z_3
    \end{array} \right\vert =
x_3\left\vert \begin{array}{c}
    y_1\:y_2 \\
    z_1\:z_2
    \end{array} \right\vert -
y_3\left\vert \begin{array}{c}
    x_1\:x_2 \\
    z_1\:z_2
    \end{array} \right\vert +
z_3\left\vert \begin{array}{c}
    x_1\:x_2 \\
    y_1\:y_2
    \end{array} \right\vert$[/Latex]