Title: PTSI / Mathématiques / Mathématiques - Fonctions à deux variables

Q: Définir la notion de boule fermée, de boule ouverte et de sphère dans le plan.
A: [latex]Soit $a\in \mathbb{R}^2$. Soit $R\in \mathbb{R}_+^* .$ \\
\underline{On définit:} \\
- la boule \underline{ouverte} de centre a et de rayon R: \\
$$B(a,R) = \{u \in \mathbb{R}^2/||u-a||<R\}$$ \\
- la boule \underline{fermée} de centre a et de rayon R: \\
$$\overline{B}(a,R) = \{u \in \mathbb{R}^2/||u-a||\le R\}$$ \\
- la sphère de centre a et de rayon R: \\
$$\$(a,R) = \{u \in \mathbb{R}/||u-a||=R\}$$[/latex]

Q: Définir ce qu'est un ensemble de points bornés.
A: [latex]Soit $X\in P(\mathbb{R}^2)$. On dit que X est bornée si, $$\exists R > 0, X \subset \overline{B}(O,R)$$[/latex]

Q: Enoncer les deux propositions sur les ouverts dans le cadre des fonctions à deux variables.
A: [latex]Soit $(O_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts indexée par I. \underline{Alors,} $\bigcup_{i\in I}O_i$ est encore ouvert.[/latex]
[latex]\underline{De plus,} Soient A et B deux ouverts de $\mathbb{R}^2$. \underline{Alors,} $A\cap B$ est un ouvert[/latex]

Q: Définir la notion d'adhérence dans le cadre des fonctions à deux variables.
A: [latex]Soit $A\in P(\mathbb{R}^2)$. Soit $a\in\mathbb{R}^2$. On dit que a est \underline{adhérent} à A et l'on note $a\in \overline{A}$ si, $$\forall \epsilon > 0, B(a,\epsilon)\cap A\ne \O$$[/latex]

Q: Définir la notion de dérivée partielle en un point d'une fonction à deux variables.
A: [latex]Soit $f:U\to\mathbb{R}$. Soit $a=(\alpha,\beta )\in U$.\\
On définit les application partielles de f en a comme:\\
\begin{displaymath} f_1: \left| \begin{array}{rcl} U_1 & \longrightarrow &\mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f(x,\beta) \\ \end{array} \right. \end{displaymath}
\begin{displaymath} f_2: \left| \begin{array}{rcl} U_2 & \longrightarrow &\mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f(\alpha,x) \\ \end{array} \right. \end{displaymath}
On dit alors que f admet une première dérivée partielle en a si $f_1$ est dérivable en $\alpha$. \\
On note alors: \\
$$\frac{\partial f}{\partial x}(a) = f_1'(\alpha)$$
On dit que f admet une seconde dérivée partielle en a si, $f_A$ est dérivable en $\beta$. \\
On note alors: \\
$$\frac{\partial f}{\partial y}(a) = f_2'(\beta)$$
[/latex]

Q: Définir la dérivée de f en a selon le vecteur v dans le cadre des fonction à deux variables.
A: [latex]Soit $f:U\to\mathbb{R}$. Soit $a\in U$. Soit $v\in\mathbb{R}^2$. \\
On définit la dérivée de f en a selon le vecteur v par:\\
$$D_af(v)=f_v'(0).$$ \underline{où}: $f_v:t\in I\longmapsto f(a+tv)$[/latex]

Q: Enoncer le théorème du développement limité à l'ordre 1 dans le cadre des fonctions à deux variables.
A: [latex]Soit $f\in \mathcal{C}^1(U)$. Soit $(x_0, y_0)\in U$. Soit $(h,k)\in\mathbb{R}^2,(x_0,y_0)+(h,k)\in U$. \\
\underline{Alors,} $$f(x_0+h,y_0 +k) \underset{(h,k)\to 0}{=} f(x_0,y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)k + o(||(h,k)||)$$[/latex]

Q: Définir le gradient en mathématiques dans le cadre des fonctions à deux variables.
A: [latex]Soit $f\in\mathcal{C}^1(U)$. Soit $a\in U$. \\
On appelle \underline{gradient} de f en a:\\
$$\nabla f(a) = (\frac{\partial f}{\partial x}(a);\frac{\partial f}{\partial y}(a)) \in\mathbb{R}^2$$[/latex]

Q: Définir ce qu'est un point critique dans le cadre des fonctions à deux variables.
A: [latex]Soit $a\in A$. Soit $f:A\to \mathbb{R}$. \\
On dit que a est un \underline{point critique} de f si,
$$\nabla f(a)=0$$[/latex]

Q: Enoncer la proposition qui lie un extremum local d'une fonction à deux variables à un point critique de celle-ci.
A: [latex]Soit $f\in\mathcal{C}^1(U,\mathbb{R})$.\\
(f admet un extremum local en $a\in U^o$)$\Rightarrow$(a est un point critique de f)\\
(le rond est au dessus du U et signifie "U mais pas à la bordure"[/latex]

Q: Enoncer la règle de la chaine.
A: [latex]Soit $f\in\mathcal{C}^1(U)$.\\
$\varphi:\left\{ \begin{array}{ll} I\to\mathbb{R}^2 \\ t\longmapsto (\varphi_1(t),\varphi_2(t))\end{array} \right.$\\
$\varphi_1\in\mathcal{C}^1(I, \mathbb{R}),$ $\varphi_2\in\mathcal{C}^1$ et $\varphi (I) \subset U$\\
\underline{Alors},: h:$\left\{ \begin{array}{ll} I\to\mathbb{R} \\ t \longmapsto (f\circ\varphi)(t) \end{array} \right. $ est dérivable et:\\
$\forall t \in \mathbb{R}, h'(t) = (f\circ \varphi)'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(\varphi(t))\varphi_1'(t) + \frac{\partial f}{\partial y}(\varphi(t))\varphi_2'(t)$[/latex]